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Reflexion von Licht im Wellenmodell

Reflexionsgesetz und Cornu-Spiralen

Im Wellenmodell gibt es keine einzelnen Lichtstrahlen. Wie passt dann das Reflexionsgesetz (der Ausfallswinkel eines Lichtstrahls ist gleich seinem Einfallswinkel, zudem sind einfallender, reflektierter Strahl und Einfallslot koplanar) in dieses Modell?

Reflexionsgesetz und Cornu-Spiralen

Ausgangssituation des folgenden JPAKMA-Projektes "Reflexion im Wellenmodell":

Von einer idealisierten Punktlichtquelle P fällt Licht in Form einer Kreiswelle auf einen ebenen Spiegel (blaues Rechteck) und wird von diesem reflektiert. Wir betrachten speziell die zum Punkt Q reflektierte Intensität. Zwischen Quelle P und Beobachtungspunkt Q befindet sich eine Blende, die verhindert, dass Licht auf direktem Wege von P nach Q kommt.

In der geometrischen Optik wird für diesen Fall nur ein einziger Laufweg des Lichtes von P nach Q berücksichtigt, nämlich derjenige Lichtstrahl, welcher das Reflexionsgesetz exakt erfüllt. In der Wellenoptik haben wir dagegen ein ganzheitlicheres Modell dieses Vorgangs: Die Kreiswelle trifft auf die einzelnen Punkte der Spiegeloberfläche und regt diese (durch Streuung) zur Aussendung Huygens'scher Elementarwellen an, deren Einhüllende wieder eine Kreiswellenfront ergibt. In Wirklichkeit gibt es also nicht nur einen einzigen, sondern viele verschiedene Laufwege, auf denen Licht von P nach Q gelangt. Jedem Laufweg entspricht hierbei die Ausbreitungsrichtung eines Abschnittes der kreisförmigen Wellenfront. Den dazugehörigen Kreissektor der Welle bezeichnen wir als Wellenzug.

Im Projekt wurde der Spiegel in äquidistante Abschnitte unterteilt und für jeden der zugehörige Laufweg (rosafarbene Linien) eingezeichnet.

Die Laufwege der einzelnen Wellenzüge von P nach Q sind unterschiedlich lang. Diesen Gangunterschieden zwischen den einzelnen Wellenzügen entsprechen verschiedene Phasenwinkel ihrer zugehörigen Zeiger (Zeigerformalismus zur Darstellung von Wellen). Für jeden Laufweg sehen Sie unter dessen Reflexionspunkt auf dem Spiegel den Zeiger (kleine dunkelblaue Pfeile) des zugehörigen Wellenzuges, um den entsprechenden Phasenwinkel gedreht, dargestellt.

Hinweis
Genau besehen werden Sie feststellen, dass auch die Längen der einzelnen Zeiger, d.h. die Amplituden der verschiedenen Wellenzüge leicht verschieden sind. Dies kommt von der äquidistanten Aufteilung des Spiegellängsschnittes: Jeder Wellenzug repräsentiert einen sektorförmigen Ausschnitt der ursprünglichen Kreiswelle. Diese Sektoren besitzen aufgrund der äquidistanten Einteilung jedoch unterschiedlich große Mittelpunktswinkel. Somit sind die Flächen der verschiedenen Sektoren also nicht gleich groß, weswegen die Amplituden der Wellenzüge, die ja proportional zu diesen Flächen sind, ebenfalls unterschiedlich groß sind. Für die im Punkt Q resultierende Intensität (proportional zum Amplitudenquadrat) müssen wir im Wellenmodell alle Zeiger miteinander verketten und anschließend aus der Länge des resultierenden Zeigers die Gesamtamplitude bestimmen.

Aufgrund der unterschiedlichen Längen und Winkel der Zeiger ergeben sich in diesem Fall keine geschlossenen Vielecke, sondern so genannte Cornu-Spiralen. Diese finden Sie für die aktuell eingestellte Wellenlänge am linken unteren Bildschirmrand dargestellt, der resultierende Zeiger ist schwarz eingezeichnet.

Arbeitsauftrag

Starten Sie nun das Projekt. Nehmen Sie zu Beginn noch keine Änderung an den voreingestellten Werten vor. Ihr Projekt sollte mit der Wellenlänge 95,2 (willkürliche Skalierung) und der aktivierten Option "Reflexion über ganze Fläche" starten. Beantworten Sie bitte zunächst schriftlich die folgenden Fragen.

1. Aufgabenteil:

  • Welche Stellen auf dem Spiegel (Laufwege) entsprechen den mittleren Zeigern der Cornu-Spirale, die alle annähernd den gleichen Phasenwinkel aufweisen?
  • Vergleichen Sie die Länge des resultierenden schwarzen Zeigers mit dem Beitrag dieser erwähnten mittleren Zeiger. Welcher qualitative Zusammenhang besteht hier?
  • Wenden wir uns nun den Zeigern in den Wickeln der Spirale zu. Welche Laufwege (Spiegelbereiche) gehören zu diesen? Welche dieser Zeiger müssten weggelassen werden, damit der resultierende schwarze Zeiger länger wird?
  • Ändern Sie nun die Wellenlänge zu Werten, die ein wenig größer (bzw. ein wenig kleiner) als der Vorgabewert sind. Wie verändert sich die zugehörige Cornu-Spirale? Worauf beruhen diese Veränderungen?

Nach schriftlicher Beantwortung dieser Fragen klicken Sie bitte auf "Lösung anzeigen" und vergleichen Sie ihre Antworten zu diesem ersten Aufgabenteil mit den dort angegebenen Musterantworten. Anschließend bearbeiten Sie bitte den folgenden zweiten Aufgabenteil.

2. Aufgabenteil:

Stellen Sie zunächst wieder den Wert 95,2 für die Wellenlänge ein. Am einfachsten erreichen Sie dies durch Stoppen und einem anschließenden Neustart des Projektes.Setzen Sie nun ein Häkchen bei der Option "Markiere Störenfriede!". Alle Zeiger, die in Bezug zur Richtung der mittleren Zeiger der Cornu-Spirale "Rückwärtskomponenten" aufweisen, werden nun rot markiert. Anschließend haben Sie die Möglichkeit, diese wegzulassen, um die im Punkt Q resultierende Amplitude zu vergrößern. Dazu aktivieren Sie bitte die Option "Spiegelstellen auskratzen!". Die Vorstellung hierbei ist, dass diejenigen Stellen auf dem Spiegel, an denen Wellenzüge reflektiert werden, die rückwärtsgerichtete Zeiger im Zeigerdiagramm hervorrufen, durch Auskratzen gezielt blind gemacht werden. Für die Reflexion an der ausgekratzten (und damit verringerten) Spiegelfläche wird die zugehörige (neue) Cornu-Spirale am rechten unteren Rand dargestellt. Diese können Sie durch Anhaken der nun erscheinenden Option "Vergleich!" mit der der ungestörten Reflexion (auf der ganzen Spiegelfläche) vergleichen. Der neue resultierende Zeiger ist deutlich länger als der alte.

Überlegen Sie sich zum Abschluss die Antwort auf folgende Frage, die sich auf eine mögliche Verletzung der Energieerhaltung während dieses Vorgangs bezieht.

  • Wie ändert sich die Helligkeit in Punkten, die nahe neben dem Beobachtungspunkt Q liegen, wenn der Spiegel ausgekratzt wird? Ist bei diesem Vorgang die Energieerhaltung verletzt - wird es also überall heller?

Nachdem Sie nun mit allen Funktionen dieses Projektes vertraut sind, sollten Sie frei mit diesem arbeiten können. Treffen Sie wie immer Vorhersagen, die Sie anschließend im Projekt überprüfen.

Abb.1
JPAKMA-Animation "Reflexion im Wellenmodell"

Zum ersten Aufgabenteil: Den mittleren Zeigern der Cornu-Spirale entsprechen Lichtstrahlen, die das Reflexionsgesetz exakt bzw. annähernd erfüllen, die also bei der vorliegenden symmetrischen Anordnung von P und Q an Stellen im zentralen Bereich des Spiegels reflektiert werden. Diese Lichtstrahlen besitzen die kürzesten Laufwege von allen, und damit auch die kürzesten Laufzeiten (Stichwort: Fermat'sches Prinzip). Vergleichen wir die Länge des resultierenden schwarzen Zeigers mit der Länge der Mitte der Cornu-Spirale, so erkennen wir, dass die resultierende Amplitude nahezu vollständig durch Beiträge derjenigen Wellenzüge zustandekommt, die das Reflexionsgesetz annähernd erfüllen, und somit die kürzesten Laufzeiten aufweisen. Beziehen wir uns auf die Richtung der Zeiger in der Mitte der Cornu-Spirale, so verringern diejenigen Zeiger in den Wickeln die resultierende Amplitude, die Komponenten aufweisen, welche zu dieser Mittenrichtung entgegengesetzt sind. Diese wollen wir im Folgenden kurz als Störenfriede oder rückwärtsgewandte Zeiger bezeichnen. Ändern wir die Wellenlänge zu größeren Werten, so werden die Wickel der Cornu-Spirale weiter. Bei Verringerung der Wellenlänge werden die Wickel enger. Bei gleichbleibender äquidistanter Spiegeleinteilung werden die (somit auch konstanten) Gangunterschiede benachbarter Laufwege im Vergleich zur Wellenlänge kleiner (bzw. größer), weswegen die zugehörige Phasenwinkeldifferenz im Zeigerdiagramm ebenfalls kleiner (bzw. größer) ausfällt. Abhängig von der Wellenlänge ändert sich der Phasenwinkel der zentralen Laufwege (diese erfüllen das Reflexionsgesetz annähernd), und somit die Ausrichtung der gesamten Cornu-Spirale. Zum zweiten Aufgabenteil:In eng benachbarten Punkten um Q wird es beim Auskratzen des Spiegels dunkler, da u.a. auch Stellen ausgekratzt werden, in denen Strahlen reflektiert werden, die für diese Punkte das Reflexionsgesetz (annähernd) erfüllen. Die Energieerhaltung ist also nicht verletzt.

Lösung zeigenLösung ausblenden

Wie im Projekt gesehen, wird der Großteil der zu einem Beobachtungspunkt Q reflektierten Intensität von Wellenzügen beigetragen, deren Ausbreitungsrichtungen das aus der geometrischen Optik bekannte Reflexionsgesetz exakt bzw. annähernd erfüllen. Dabei weisen diese Wellenzüge mit den kürzesten Laufwegen die größten Amplituden auf. Die Beiträge anderer Laufwege (Spiegelstellen) heben sich als Wickel der Cornu-Spiralen gegenseitig annähernd auf.

Reflexionsgesetz im Wellenmodell
Das Reflexionsgesetz ist im Wellenmodell nichts anderes als eine Folgerung aus dem Huygens-Prinzip.

In der geometrischen Optik wird das so genannte Fermat'sche Prinzip angewandt, welches besagt, dass Licht stets diejenigen Wege zur Ausbreitung nimmt, welche die kürzeste Laufzeit aufweisen. Im Modell der geometrischen Optik bleibt allerdings unklar, woher denn das Licht schon vorher wissen kann, welche Laufwege die kürzeste Laufzeit haben werden. Diese Frage stellt sich in der Wellenoptik nicht mehr, da wir gesehen haben, dass Licht sich tatsächlich nicht über einen einzigen, sondern vielmehr über alle möglichen Laufwege zwischen zwei Punkten ausbreitet, deren Beiträge sich jedoch teilweise gegenseitig aufheben (die Wickel der Cornu-Spirale!).

Das Wellenmodell umfasst also die geometrische Optik mit ihren Phänomenen, die somit einen idealisierten Bereich desselben darstellt.

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