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Beugung am Einfachspalt

Herleitung der Intensitätsverteilung

Bei allen bisherigen Herleitungen sind wir stets davon ausgegangen, dass wir unsere Spalte eng genug realisiert haben, um sie als linienförmige - also fast unenendlich dünne - Quellen von zylindrischen Elementarwellen (zweidimensional: punktförmige Quellen von Kreiswellen) betrachten zu können.

So etwas lässt sich jedoch in der Wirklichkeit nicht erreichen: Jeder Spalt besitzt eine endliche Breite a - und diese beeinflusst zusätzlich das beobachtbare Interferenzmuster. Dieses Phänomen, welches stets beim Lichtdurchtritt durch kleine Öffnungen auftritt, nennt man Beugung (s. auch hier).

Ist Interferenz etwas anderes als Beugung?!
Beugung und Interferenz sind begriffliche Unterscheidungen für im Grund ein und dasselbe Phänomen: die Überlagerung von Licht, das sich wellenförmig ausbreitet. Betrachtet man eine einzelne Öffnung für sich, so spricht man bevorzugt von Beugung. Möchte man über das Zusammenwirken mehrerer Öffnungen sprechen, benutzt man bevorzugt den Begriff Interferenz.

Vom Mehrfachspalt zum Einfachspalt

Mit unserem Wissen über den Mehrfachspalt kommen wir, wie wir gleich sehen werden, äußerst bequem zu Aussagen über die Beugung am Einfachspalt.

Herleitung der Formel der Intensitätsverteilung bei der Einfachspaltbeugung
Betrachten wir also einmal einen einzelnen Spalt genauer, wie in der folgenden Skizze dargestellt. Da dieser nun nicht mehr nur ein einzelnes, punktförmiges Quellenzentrum enthält, verteilen wir gedanklich über seine ganze Breite a eine große Anzahl von N Quellen von Elementarwellen, um der Realität näher zu kommen. Diese besitzen dann einen Abstand a N voneinander.
Abb.1
N Elementarwellenzentren im Einzelspalt
Dieser Fall kommt uns sehr vertraut vor - den Intensitätsverlauf von N diskreten Quellen im Abstand g = a N können wir ja mit der schon zuvor gefundenen Formel für einen Mehrfachspalt berechnen! Dabei entspricht jeder einzelnen Quelle gerade ein einzelner Spalt des Mehrfachspaltes. Zur Erinnerung: I ( Δ ϕ ) = I 0 ( sin ( N Δ ϕ 2 ) sin ( Δ ϕ 2 ) ) 2 Unser N war beliebig, wir können jetzt also beliebig viele Elementarwellenzentren beliebig dicht über die Spaltbreite a verteilen, um der Wirklichkeit immer näher zu kommen. Der relative Gangunterschied Δ x zwischen zwei benachbarten Wellenzügen beträgt in diesem Fall: Δ x = a N sin α
Da die Intensität, die insgesamt aus dem Einfachspalt kommen soll, nach wie vor I 0 = A 0 2 betragen soll, müssen wir jetzt beachten, dass jeder der von diesen ausgehenden N Wellenzügen die Amplitude A 0 N besitzt. In der obigen Formel (Intensitätsverteilung beim Mehrfachspalt) war I 0 gerade die Intensität einer einzelnen Quelle, diese müssen wir nun also durch I 0 N 2 ersetzen.
Wir erhalten nun den Intensitätsverlauf hinter einem Einfachspalt durch einen Grenzübergang der für den Mehrfachspalt gefundenen Formel für N .
Dabei beträgt der relative Phasenunterschied zwischen je zwei benachbarten Quellen nun Δ ϕ = 2 π Δ x λ = 2 π λ a N sin α . Diesen setzen wir ein und erhalten: I = lim N I 0 N 2 ( sin ( N Δ ϕ 2 ) sin Δ ϕ 2 ) 2 = lim N A 0 2 N 2 ( sin ( N 2 π λ a N sin α 2 ) sin ( 2 π λ a N sin α 2 ) ) 2
Wegen N geht 1 N 0 , wir können also im Nenner wieder einmal die Kleinwinkelnäherung sin ϕ = ϕ benutzen und erhalten somit: I = lim N A 0 2 N 2 ( sin ( π λ a sin α ) 1 N π λ a sin α ) 2 = A 0 2 ( sin ( π λ a sin α ) π λ a sin α ) 2 = I 0 ( sin ( π λ a sin α ) ) 2 ( π λ a sin α ) 2 ist die Formel für den Intensitätsverlauf hinter einem Einfachspalt aufgrund der Beugung.

Den typischen Verlauf eines solchen Beugungsbildes hinter einem Einfachspalt sehen wir in der folgenden Abbildung, in welcher die Intensität in Abhängigkeit von der Entfernung zum Schirmzentrum aufgetragen ist.

Abb.2
Intensitätsverlauf hinter einem Einfachspalt aufgrund von Beugung

Das zentrale Maximum hat die erwartete Intensität von 1 I 0 . Das kommt daher, dass der Grenzwert der Funktion sin t t = 1 für t 0 ist.

Nähern wir wieder wie zuvor sin α tan α = d s , wobei d der Schirmmittenabstand und s die Schirmentfernung ist, so liegen die Beugungsminima an den Orten d k = k λ s a . Analog folgen Beugungsmaxima an den Orten d k = 2 k + 1 2 λ s a (natürlich für k = 0 , 1 , 2 ,...).

Insbesondere fällt auf, dass außerhalb der ersten Beugungsminima (bei ± 1 2 λ s a ) die Intensitätsmaxima sehr klein gegenüber dem zentralen Beugungsmaximum ausfallen. Der Hauptanteil der Gesamtintensität eines Einzelspaltes konzentriert sich auf den Bereich zwischen den beiden ersten Beugungsminima. Dies sind immerhin 90,3 % der Gesamtintensität, wie die Auswertung des Integrals der Fläche unter der Kurve zeigt!

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