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Der Mehrfachspalt

Der Dreifachspalt

Vorbemerkung

Nachdem wir bisher gesehen haben, wie beim Doppelspalt durch Interferenz zweier Zylinderwellen das von Young beobachtete Muster auf dem Sichtschirm zustande kommt und wie dieses von der benutzten Wellenlänge λ , bzw. dem Spaltabstand g abhängt, wenden wir uns im Folgenden der Frage zu, ob und wie die Anzahl N der vorhandenen Spalte das Interferenzmuster beeinflusst.

Hat man es mit einer Spaltanzahl N zu tun, die größer als 2 (Doppelspalt!) ist, so spricht man von einem Mehrfachspalt, oder bei sehr großem N auch von einem Gitter.

Zunächst wollen wir einige Betrachtungen am einfachsten Mehrfachspalt, dem Dreifachspalt, anstellen und diese anschließend für beliebige Spaltanzahlen verallgemeinern.

Der Dreifachspalt als einfachster Mehrfachspalt

Fragestellung:

Was wäre zu erwarten, wenn bei einem Doppelspaltexperiment zusätzlich ein dritter Spalt, ebenfalls im Abstand g , geöffnet wird, also der uns vertraute Doppel- zu einem Dreifachspalt erweitert wird, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist?

Abb.1
Gangunterschiede der Teilstrahlen beim Dreifachspalt

Versuchen Sie, die folgenden Fragen selbst zu beantworten, bevor Sie die darauf folgende Zusammenfassung lesen!

  • Was ist nun an Orten, an denen zuvor Intensitätsmaxima (Bedingung: g sin α k = k λ , bzw. Phasendifferenz Δ ϕ = 2 π ) des Dopppelspalts lagen, bei Hinzunahme des 3. Spalts zu beobachten?
  • Was gilt für die Intensität dieser Orte? Ändert Sie sich - und wenn ja, wie?

Zusammenfassung:

An diesen Orten hat der erste zum zweiten Wellenzug einen Gangunterschied einer ganzzahligen Wellenlänge (Phasendifferenz Δ ϕ = 2 π bzw. Δ ϕ = 0 ), ebenso wie der zweite zum dritten - alle drei Wellenzüge sind also in Phase, interferieren demnach konstruktiv. Deswegen sind an diesen betrachteten Orten bei einem Dreifachspalt nach wie vor Maxima der Intensität.

Ist A 0 die Amplitude eines einzelnen Wellenzuges mit zugehöriger Intensität I 0 = A 0 , so ergibt sich die Intensität der neuen Maxima zu ( 3 A 0 ) 2 = 9 A 0 2 = 9 I 0 . Zum Vergleich: Die Maxima des Doppelspalts hatten eine Intensität von ( 2 A 0 ) 2 = 4 A 0 2 = 4 I 0 .

Da die Maxima sozusagen ihren Ort auf dem Sichtschirm beibehalten und gleichzeitig maximal mögliche Intensität besitzen, nennt man sie in diesem Zusammenhang auch Hauptmaxima n-ter Ordnung.

Diese Bezeichnung legt bereits nahe, dass bei einem Mehrfachspalt ( N 3 ) auch so etwas wie Nebenmaxima beobachtbar sein könnten - und wie wir gleich sehen werden, ist dies auch tatsächlich der Fall!

Unsere Überlegungen dazu stellen wir wieder mittels Zeigerdiagrammen an, in welchen wir die am jeweiligen Ort des Schirms resultierende Schwingungsamplitude als Länge des resultierenden Zeigers berechnen. In diesen sind im Unterschied zum bereits bekannten JPAKMA-Projekt "Beschreibung von Wellen durch rotierende Zeiger: Gangunterschied vs. Phasendifferenz" die Zeiger hintereinander gehängt.

Arbeitsauftrag

Achtung! Sie sind ab jetzt aufgefordert, parallel im Fließtext weiterzulesen und dessen Aussagen am folgenden JPAKMA-Projekt nachzuvollziehen. Dazu werden Sie zwischen zwei Fenstern hin- und herwechseln müssen.

Zum orientierenden Vergleich nutzen Sie bitte zusätzlich parallel zu den nachfolgenden statischen Zeigerdiagrammen im Fließtext (!) die zu diesen korrespondierende Situation aus dem erwähnten JPAKMA-Projekt, welches hierzu auf drei Spalte erweitert wurde.

Öffnen Sie also bitte das Projekt und nehmen Sie synchron zu den im Fließtext (!) nachfolgenden Beispielen per Schieber (also Ändern der Schirmposition) die folgenden Einstellungen vor:

  • Δ ϕ = 0 π = 0 2 π
  • Δ ϕ = 1 π = 0,5 2 π
  • Δ ϕ = 2 3 π = 0,33 2 π
  • Δ ϕ = 5 6 π = 0,42 2 π
Abb.2
JPAKMA-Animation "Zeigerdiagramme beim Dreifachspalt"

Der eingangs erwähnte Fall eines Gangunterschieds von Δ x = k λ entspricht einer relativen Phasendifferenz von Δ ϕ = 2 π (bzw. Δ ϕ = 0 ) zwischen den einzelnen Zeigern. Die Zeiger addieren sich also einfach ihrer Länge nach zu der maximalen resultierenden Amplitude A res = 3 A 0 .(Und nicht vergessen - jetzt im JPAKMA Projekt das Zustandekommen dieses folgenden Zeigerdiagramms nachvollziehen!)

Abb.3
Zeigerdiagramm für Δ ϕ = 0

An Orten, wo beim Doppelspalt Minima auf dem Sichtschirm lagen, herrschte eine relative Phasendifferenz von Δ ϕ = π zwischen den beiden Wellenzügen. Mit dieser relativen Phasendifferenz bilden aber die drei Zeiger kein Minimum, da ihre resultierende Amplitude A res = A 0 ist. Der Sichtschirm weist also an diesen Orten so genannte "Resthelligkeiten" auf, wenn ein Dreifachspalt benutzt wird.

Abb.4
Zeigerdiagramm für Δ ϕ = π

Beträgt die relative Phasendifferenz Δ ϕ = 2 3 π , so bilden die drei Zeiger ein geschlossenes, gleichseitiges Dreieck, und ihre resultierende Amplitude A res ist gleich Null. An den entsprechenden Orten auf dem Sichtschirm sind nun Minima (Dunkelstellen) beobachtbar.

Abb.5
Zeigerdiagramm für Δ ϕ = 2 3 π

Haben wir eine relative Phasendifferenz von Δ ϕ = 5 6 π , so bilden die Zeiger die folgende abgebildete Figur. Die resultierende Amplitude A res ist in diesem Fall ein wenig kleiner als A 0 .

Abb.6
Zeigerdiagramm für Δ ϕ = 5 6 π
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