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Beugung an kreisförmigen Öffnungen

3D-Graphen des Intensitätsverlaufes

Den gerade zuvor hergeleiteten Intensitätsverlauf entlang der Geraden g sehen Sie in der folgender Abbildung dargestellt.

Abb.1
Intensitätsverlauf entlang der Geraden (bis auf die Proportionalitätskonstante) g

Hierbei ist für uns besonders die erste positive Nullstelle dieser Funktion wichtig, die die Position des vom Zentrum aus ersten dunklen Punktes auf der Geraden (erster dunkler Ring) widerspiegelt. Diese wird durch die erste Nullstelle der Besselfunktion 1. Ordnung im Zähler bestimmt und liegt bei x = 3,83 .

Daraus folgt, dass der erste Ring destruktiver Interferenz unter dem Sichtwinkel α 0 auf dem Sichtschirm sichtbar wird, der über die folgende Beziehung festgelegt ist: 2 π λ r sin α 0 = 3,83 sin α 0 = 0,61 λ r

Aufgrund der Rotationsymmetrie der Anordnung brauchen wir den so erhaltenen Intensitätsverlauf I ( α ) nur um die z-Achse eines dreidimensionalen Koordinatensystems rotieren lassen, um die räumliche Intensitätsverteilung auf dem Sichtschirm zu erhalten.

Abb.2
Intensitätsverlauf hinter einer kreisförmigen Blende, Schnittebene entlang der Geraden g

Übersichtlicher ist hier eine logarithmische Darstellung. Deutlich zu erkennen ist hier das zentrale Maximum, das auf dem Sichtschirm als zentrales Beugungsscheibchen sichtbar wird. Dieses nennt man auch Airy-Scheibe.

Abb.3
Intensitätsverlauf hinter einer kreisförmigen Blende, logarithmische Darstellung
Zur Theorie der Fourier-Transformation
Die exakte Herleitung des Intensitätsverlaufes hinter einer kreisförmigen Öffnung, die ebenfalls zur besagten Besselfunktion 1. Ordnung führt, liefert die Theorie der Fourier-Transformation. Dazu lässt sich vereinfachend Folgendes sagen: Für jede beliebig geformte Öffnung lässt sich deren elektrische Feldstärkenverteilungs-Funktion angeben. Die so genannte Fourier-Transformierte dieser Funktion liefert dann den Intensitätsverlauf, der durch Beugung hinter der betrachteten Öffnung entsteht.
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