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Beugung an kreisförmigen Öffnungen

Intensitätsverlauf

Das hinter einem Einfachspalt auftretende Fraunhofer'sche Beugungsmuster (genauer dessen relativer Intensitätsverlauf) hatten wir an anderer Stelle zuerst theoretisch berechnet und anschließend u.a. dessen Auswirkung als zusätzlichen Formfaktor in der Aufnahme eines Doppelspaltinterferenzmusters gesehen.

In der alltäglichen Optik tauchen jedoch nicht enge Spalte am häufigsten auf, vielmehr überwiegen hier kreisförmige Öffnungen, durch die Licht fällt, wie z.B. Kamera- oder Teleskoplinsen, die Pupillen unserer Augen, die Löcher in einer Lochkamera, usw.

An allen diesen Öffnungen tritt natürlich Beugung auf. Diese beeinflusst das Auflösungsvermögen, wenn wir z.B. zwei eng nebeneinander liegende beugende Objekte unter einem Mikroskop betrachten wollen.

Um hier zu Aussagen über das Auflösungsvermögen verschiedener optischer Instrumente zu gelangen, werden wir zunächst den Intensitätsverlauf betrachten, wie er als Beugungsmuster hinter einer kreisförmigen Öffnung auftritt.

Intensitätsverlauf hinter einer kreisförmigen Öffnung

Um den Intensitätsverlauf bei einem Einfachspalt zu berechnen, hatten wir über dessen Spaltbreite a gedanklich eine große Anzahl N von kohärenten Punktlichtquellen verteilt und anschließend mathematisch einen Grenzübergang für N vollzogen. Als Ergebnis erhielten wir dabei: I = I 0 ( sin x x ) 2 Hierbei war das Argument x abhängig von der verwendeten Wellenlänge λ , der Spaltbreite a und dem Winkel α , unter dem wir auf dem Sichtschirm beobachteten ( x = π λ a sin α ). Die Funktion sin x x bezeichnet man als sinc-Funktion.

Ähnlich gehen wir im Folgenden bei einer kreisförmigen Öffnung vor, die den Radius r besitzen und durch welche monochromatisches Licht der Wellenlänge λ fallen soll.

Intensitätsverteilung hinter einer kreisförmigen Öffnung
Wir wollen zunächst den Intensitätsverlauf nur für Punkte P berechnen, die auf einer festen Geraden g , welche durch das Schirmzentrum verläuft, unter einem Winkel α auf dem Sichtschirm liegen (in der folgenden Abbildung die blau eingezeichnete Vertikale auf dem Sichtschirm).
Abb.1
Perspektivische Skizze zur Berechnung des Intensitätsverlaufes entlang der Geraden g auf dem Sichtschirm
Die kreisförmige Öffnung unterteilen wir gedanklich in eine Anzahl N von nebeneinander liegenden Streifen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen.
Abb.2
Zur Bestimmung des Intensitätsverlaufes hinter einer kreisförmigen Öffnung
Jeder dieser Streifen besitzt dann eine Breite Δ x von: Δ x = 2 r N Abhängig von seiner Position x beträgt die Länge l x eines solchen Streifens (Pythagoras): l x = 2 r 2 x 2 Die von einem solchen Streifen emittierte Teilwelle besitzt eine Amplitude A x , die natürlich proportional zu dessen Fläche ist, es gilt also: A x l x Δ x = 2 r 2 x 2 2 r N Nun müssen wir noch die Phasenverschiebung Δ ϕ zwischen Teilwellen verschiedener Streifen berücksichtigen, die diese in einem Punkt P auf der Geraden g (für verschiedene Winkel α ) aufweisen. Zwischen zwei benachbarten Streifen beträgt diese: Δ ϕ = 2 π Δ s λ = 2 π Δ x sin α λ Für einen Streifen, der bei Position x liegt, beträgt die Phasendifferenz in Relation zum ersten Streifen bei x = r (es liegen M Streifen zwischen diesen beiden) dann gerade: Δ ϕ x = M Δ ϕ = x + r Δ x 2 π Δ x sin α λ = ( x + r ) 2 π sin α λ
Die Beiträge aller einzelnen Streifen zur Intensität in einem Punkt P ( α ) fassen wir nun als Zeiger auf, die jeweils um den Phasenwinkel Δ ϕ x zum ersten Zeiger (Amplitude des Streifens bei x = r ) gedreht liegen. Um diese zu addieren, berechnen wir die Summe ihrer Horizontalkomponenten ( H , parallel zur x-Achse) bzw. Vertikalkomponenten ( V , parallel zur z-Achse) getrennt voneinander: H = r r A x cos ( Δ ϕ x ) V = r r A x sin ( Δ ϕ x ) Die Intensität in einem Punkt P ( α ) ist dann gerade proportional zum Betrag des resultierenden Zeigers, es gilt also: I ( α ) = H 2 + V 2 Mit dieser diskreten Formel (Iterationsdichte n = 1 N ) können wir auf dem Computer den Intensitätsverlauf entlang der Geraden g für sehr große Streifenanzahlen N berechnen lassen. Im Grenzfall ( N ) ergibt sich dabei für den Intensitätsverlauf I ( α ) der folgende Ausdruck, der dem des Einzelspaltes sehr ähnelt: I ( α ) ( J 1 ( 2 π λ r sin α ) 2 π λ r sin α ) 2 Hierbei ist J 1 ( ... ) die so genannte Besselfunktion 1. Ordnung. Die Besselfunktionen sind nicht elementar darstellbar, sondern werden über Reihenentwicklungen definiert.
Intensitätsverlauf hinter einer kreisförmigen Öffnung
Für den Intensitätsverlauf hinter einer kreisförmigen Öffnung mit Radius r gilt: I ( α ) ( J 1 ( 2 π λ r sin α ) 2 π λ r sin α ) 2
Hierbei ist J 1 ( ... ) die so genannte Besselfunktion 1. Ordnung.
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