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Das Babinet'sche Theorem

Das Babinet'sche Theorem

In diesem Abschnitt wollen wir das Babinet'sche Theorem kennen lernen. Dieses macht eine Aussage über die Beugungserscheinungen zweier komplementärer Beugungsobjekte.

Komplementäre Beugungsobjekte
Das zu einem beugenden Objekt komplementäre beugende Objekt ist dessen Negativ. Es ist lichtundurchlässig an Stellen, an denen das Ausgangsobjekt lichtdurchlässig war - und umgekehrt.

Das komplementäre beugende Objekt zu einer kreisförmigen Öffnung in einem Schirm ist eine Kreisblende mit gleichem Radius.

Das zum uns vertrauten Einfachspalt komplementäre beugende Objekt ist eine Spaltblende, also z.B. ein Metalldraht gleicher Breite.

Einfachspalt vs. Spaltblende (Draht-Dia)

Zunächst beleuchten wir unser Ausgangsobjekt, einen Einfachspalt der Spaltbreite a mit einem Laser.

Abb.1
Vom Laser beleuchteter Einfachspalt

Auf dem weit entfernten Sichtschirm (Fraunhofer'sche Betrachtungsweise) wird hierbei das folgend abgebildete Beugungsmuster sichtbar.

Abb.2
Beugungsbild des Einfachspaltes

Nun ersetzen wir den Einfachspalt durch sein komplementäres beugendes Objekt, einen Draht der Dicke a , der in einem Diarahmen steckt.

Abb.3
Vom Laser beleuchteter Draht in einem Diarahmen

Das vom Draht auf dem weit entfernten Sichtschirm (Fraunhofer'sche Betrachtungsweise) erzeugte Beugungsmuster sehen wir in der folgenden Aufnahme.

Abb.4
Beugungsbild des Drahtes

Verblüffend! Die Beugungsbilder von Objekt (O1) und komplementärem Objekt (O2) gleichen einander.

Diese Tatsache lässt sich wie folgt einsehen:Hätten wir ein komplett durchsichtiges, also nicht vorhandenes Beugungshindernis, so würde auf dem Schirm ein scharfes Abbild der verwendeten Lichtquelle sichtbar, welches man Zentralbild nennt. Um dieses herum herrschte Dunkelheit.

Dieses komplett durchsichtige Beugungshindernis können wir uns gedanklich als gleichzeitige Überlagerung der Öffnungen der beiden komplementären Beugungsobjekte O1 und O2 vorstellen. Überall dort, wo außerhalb des Zentralbildes Dunkelheit herrscht, kompensieren sich die Beiträge der beiden gleichzeitig auftretenden Amplitudenverteilungen A 1 (erzeugt von der Öffnung von O1) und A 2 (erzeugt von der Öffnung von O2). In einem beliebigen dunklen Punkt P außerhalb des Zentralbildes gilt also für die dort auftreffenden elektrischen Feldstärken E 1 und E 1 : E 1 + E 2 = 0 , also E 1 = E 2 .

Verwendet man nun das beugende Objekt O1 für sich allein, so erzeugt dieses im zuvor betrachteten Punkt P ein elektrisches Feld mit der Amplitude E 1 , besitzt dort also eine Intensität I 1 = E 1 2 .

Verwendet man stattdessen das komplementäre beugende Objekt O2 für sich allein, so erzeugt dieses im zuvor betrachteten Punkt P ein elektrisches Feld mit der Amplitude E 2 = E 1 , erzeugt dort also die gleiche Intensität wie das Objekt 1, da I 2 = E 2 2 = ( E 1 ) 2 = E 1 2 = I 1 gilt. Somit sind die Beugungsbilder der komplementären Objekte außerhalb des Zentralbildes gleich.

Babinet'sches Theorem
Außerhalb des Zentralbildes sind die Beugungserscheinungen zweier komplementärer beugender Objekte gleich.
Hinweis
  • Die erwähnte Gleichheit der komplementären Beugungsbilder gilt nur im Fall der Fraunhofer'schen Betrachtungsweise. Hier lässt sich eine Punktquelle idealisiert mittels einer Linse auf einen Punkt abbilden, sodass außerhalb des Zentralbildes vollständige Dunkelheit herrscht.
  • Der geringe Unterschied in den Fotos erklärt sich dadurch, dass der Draht doch nicht exakt die gleiche Dicke a wie der Spalt hatte.
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