Gitterspektren

Bisher haben wir für unsere Gitterversuche stets monochromatisches Licht in Betracht gezogen.

Aus der Bedingung für Interferenzhauptmaxima k-ter Ordnung ($g\cdot sin\alpha =k\cdot \lambda$) ersehen wir aber, dass die Positionen der Interferenzmaxima auf dem Sichtschirm wellenlängenabhängig sind.

Somit unterscheiden die sich ergebenden Interferenzmuster - die so genannten Gitterspektren - für rotes (${\nu }_{\text{rot}}=\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-14}\text{Hz}$ ) bzw. violettes (${\nu }_{\text{violett}}=\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-14}\text{Hz}$) Licht deutlich in den Positionen und Abständen ihrer Interferenzmaxima auf dem Schirm, wie in der Abbildung schematisch zu sehen ist. Aufgrund der Linienstruktur des Gitters werden die Interferenzmaxima als vertikal ausgedehnte Striche auf dem Schirm sichtbar und deswegen auch als Spektrallinien bezeichnet.

Abb.1

Spektrallinien für rotes, bzw. violettes Licht

Aus der Abbildung ist weiterhin zu entnehmen, dass die erste Beugungsordnung von violettem Licht unter einem kleineren Winkel auf dem Schirm sichtbar wird als die von rotem Licht. Genau entgegengesetzt verhält sich dies bei der Brechung an einem Prisma - hier wird violettes stärker als rotes Licht gebrochen.

Als eine wichtige Verwendung von Gittern dient die Wellenlängenbestimmung von Licht. Diese Methode wollen wir zunächst für den Fall monochromatischen Lichtes besprechen.

Arbeitsauftrag

Monochromatisches Laserlicht einer uns unbekannten Wellenlänge $\lambda$ fällt auf ein Gitter mit einer Strichdichte von 50 Strich pro Millimeter. Der zugehörige Sichtschirm befindet sich in einer Entfernung von $s=1.70\text{m}$. Das auf dem Sichtschirm entstehende Beugungsmuster sehen Sie auf dem nachfolgenden Foto.

Aufgabe:Bestimmen Sie die Wellenlänge $\lambda$ des einfallenden Lichtes! Benutzen Sie dafür das (auf dem Foto gerade noch sichtbare) Lineal, welches eine Dezimetereinteilung besitzt.

Nach Bearbeiten der Aufgabe können Sie sich die Musterlösung anzeigen lassen, indem Sie auf "Lösung zeigen" klicken.

Abb.2

Gitterspektrum einer unbekannten Wellenlänge, mit einem Lineal als Maßstab

Aus der Strichdichte von $n=50/\text{mm}$ folgt die Gitterkonstante des Gitters zu: $g=\frac{1}{n}=\frac{1}{50}\text{mm}=2\cdot {10}^{-5}\text{m}$ Aus dem Foto entnehmen wir z.B. für die Abstände der vierten Beugungsordnungen voneinander eine Strecke von etwa $d=\mathrm{0,435}\text{m}$ . Dieser Wert war mit dieser Genauigkeit natürlich nur am Versuchaufbau selbst ausmessbar und nicht dem Foto zu entnehmen.Aus der Beziehung $tan{\alpha }_4=\frac{\mathrm{0,5}\cdot d}{s}=\frac{\mathrm{0,435}\text{m}}{2\cdot \mathrm{1,70}\text{m}}$ folgt nun der Winkel ${\alpha }_4=\mathrm{7,29}°$, unter dem das Interferenzmaximum vierter Ordnung auf dem Schirm erscheint.Die Bedingung für den Winkel, unter dem die vierte Beugungsordnung (also $k=4$) erscheint, lautet: $g\cdot sin{\alpha }_4=k\cdot \lambda =4\cdot \lambda$ Aus dieser können wir nun direkt die Wellenlänge $\lambda$ bestimmen: $\lambda =\frac{g\cdot sin{\alpha }_4}{4}=\frac{\text{2}\cdot {10}^{-5}\text{m}\cdot sin\left(\mathrm{7,29}°\right)}{4}=634\text{nm}$ Unser erhaltener Wert weicht um weniger als 1 % vom Istwert der auf dem Laser angegebenen Wellenlänge von ${\lambda }_0=633\text{nm}$ ab. Eine kurze Fehlerbetrachtung zeigt uns aber, welche Fehlergrenzen in unserem Ergebnis enthalten sind. Bei einer Messungenauigkeit der Schirmentfernung von $s=\pm \mathrm{0,01}\text{m}$, sowie einer weiteren Messungenauigkeit der Strecke zwischen den vierten Beugungsordnungen von $d=\mathrm{0,0025}\text{m}$, erhalten wir als Ergebnis: $\lambda =\left(634\pm 8\right)\text{nm}$ Ein kürzerer Lösungsweg hätte auch wie folgt aussehen können: Vom Doppelspalt ist die Näherungsformel für die Abstände $D$ der Maxima untereinander bekannt, solange unter hinreichend kleinen Winkeln beobachtet wird: $D\approx \lambda \cdot \frac{s}{g}$ Aus dem Foto lässt sich $8D=\mathrm{43,5}\text{cm}$ ablesen, woraus sofort folgt: $\lambda =D\cdot \frac{g}{s}=\frac{\mathrm{0,435}\text{m}}{8}\cdot \frac{\text{2}\cdot {10}^{-5}\text{m}}{\mathrm{1,70}\text{m}}=640\text{nm}$

Lösung zeigenLösung ausblenden

Fällt nicht-monochromatisches Licht (dieses enthält viele verschiedene Wellenlängen) auf ein Gitter, so überlagern sich die zu den einzelnen Wellenlängen gehörigen Spektrallinien auf dem Schirm. Man unterscheidet hier zwischen verschiedenen Typen von Spektren: Kontinuierliche, Linien- und Bandenspektren.

• Temperaturstrahler wie Sonne, Glühbirnen oder Kohlebogenlampen senden kontinuierliche Spektren aus. In diesen ist ein ganzes Frequenzintervall enthalten, in den erwähnten Fällen von Weißlichtquellen sogar alle sichtbaren Frequenzen (von violett über blau, grün und gelb bis rot).Benutzt man für weißes Licht ein Gitter zur Spektralanalyse, so überlappen sich ab (!) der 2. Ordnung die einzelnen Spektren (von violett bis rot) auf dem Sichtschirm. Betrachten Sie hierzu nochmals die Abbildung "Spektrallinien für rotes, bzw. violettes Licht": Aus dieser ist zu ersehen, dass die 3. Beugungsordnung des violetten Lichtes bereits räumlich mit der 2. Beugungsordnung des roten Lichtes zusammenfällt, sich also das zweite und dritte Spektrum gegenseitig überlappen.Im ersten der folgenden Fotos sehen Sie symmetrisch um das zentrale (weiße!) Maximum, welches mittels eines Papiers ausgeblendet wurde, die 1. Beugungsordnungen eines weißen Glühlichtsspektrums, und am rechten Bildrand eine lichtschwächere 2. Beugungsordnung.

Abb.3

Kontinuierliches Glühlichtspektrum, zwei 1. Beugungsordnungen, eine der 2. Beugungsordnungen

Abb.4

Kontinuierliches Glühlichtspektrum, Nahaufnahme des Spektrums der 1. Ordnung

• Edelgasentladungsröhren oder Spektrallampen senden keine Frequenzintervalle, sondern vielmehr verschiedene diskrete Frequenzen aus, die für die jeweils emittierenden Atome charakteristisch sind. Die so entstehenden diskreten Spektren nennt man Linienspektren, da sie nur einige scharf voneinander abgegrenzte Spektrallinien aufweisen. Das folgende Foto zeigt das Linienspektrum einer Helium-Spektrallampe.

Abb.5

Linienspektrum von Helium (in der linken Beugungsordnung fehlt die rote Spektrallinie)

• Spektren, die von angeregten Molekülen emittiert werden, weisen aufgrund der in den Molekülen verschmierten Energieniveaus (in isolierten Atomen sind diese diskret) um bestimmte diskrete Stellen des Spektrums (sog. Bandenköpfe) Häufungen von Spektrallinien auf, die dort einen kontinuierlichen Eindruck hervorrufen. Diese Spektren nennt man Bandenspektren.