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Doppelspaltversuche

Formel der Intensitätsverteilung

Herleitung der Formel für den Intensitätsverlauf hinter einem Doppelspalt

Nun wollen wir einen geschlossenen Ausdruck für den Intensitätsverlauf hinter einem Doppelspalt herleiten, wie er als Interferenzmuster auf einem weit entfernten Schirm sichtbar wird.

Herleitung der Formel für den Intensitätsverlauf hinter einem Doppelspalt
Trägt man nun in einem Zeigerdiagramm eben jene Phasendifferenz (auch Phasenwinkel genannt) als Winkel zwischen den beiden Zeigern mit Längen entsprechend den Amplituden A 1 und A 2 ein, so erhält man die resultierende Amplitude A r e s als Länge des resultierenden Zeigers dieser beiden.
Abb.1
Kosinussatz zur Berechnung der resultierenden Amplitude
Aus dem Kosinussatz folgt sofort: A r e s 2 = A 1 2 + A 2 2 2 A 1 A 2 cos ( π Δ ϕ )
Wegen der bei der Fraunhofer`schen Betrachtungsweise geforderten Amplitudengleichheit (Grundvoraussetzung 1) sind die von den beiden Spalten ausgehenden Amplituden gleich, es ist also A = A 1 = A 2 . Weiterhin ist die Intensität einer jeden Welle proportional zum Quadrat ihrer Amplitude, deswegen ist: I = A r e s 2 = 2 A 2 2 A 2 cos ( π Δ ϕ ) = 2 A 2 [ 1 cos ( π Δ ϕ ) ] = 2 A 2 [ 1 + cos Δ ϕ ] = 4 A 2 cos 2 Δ ϕ 2
Setzen wir Δ ϕ = 2 π Δ x λ = 2 π λ g sin α und erneut sin α tan α = d s ein, sowie I 0 = A 2 , so erhalten wir den Intensitätsverlauf des Doppelspaltes als Funktion von d , dem Abstand zur Schirmmitte: I = 4 I 0 cos 2 ( π d g λ s )

Im abgebildeten Graphen erkennen Sie die sich ergebenden Minima des Doppelspaltversuches an den Stellen d = ± 1 2 λ s g , ± 3 2 λ s g , ± 5 2 λ s g ,... (ungeradzahlige Vielfache der halben Wellenlänge), sowie Maxima an den Stellen d = 0 , ± 1 λ s g , ± 2 λ s g , ± 3 λ s g ,... (ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge) , jeweils symmetrisch um den Ursprung.

Abb.2
Intensitätsverlauf bei Interferenz am Doppelspalt auf dem Sichtschirm

Licht + Licht = Dunkelheit – Ist hier etwa die Energieerhaltung verletzt?

Als aufmerksamer Leser könnte man sich ja nun fragen, wohin denn das Licht der Dunkelstellen verschwindet. Dazu stellen wir uns einmal folgendes leicht durchzuführende Experiment vor:

Man deckt einen der beiden Spalte ab und wird beobachten, dass das Interferenzmuster jetzt verschwindet und der Sichtschirm gleichmäßig mit der Intensität I 0 erhellt wird. Öffnet man den Spalt wieder, so wird der Sichtschirm an den zuvor berechneten Stellen (Minima!) dunkel.

Die Frage: Wohin ist die Energie verschwunden, die zuvor in die Bereiche fiel, wo jetzt Dunkelheit herrscht?

Die Antwort: Die scheinbar fehlende Energie steckt jetzt zusätzlich in den Maxima.

Dies lässt sich leicht mit folgender Rechnung einsehen, wobei wieder A = A 1 = A 2 gelten soll. Die gesamte theoretisch vorhandene Energie sollte proportional zu A 2 + A 2 = 2 A 2 sein. In einem Maximum addieren sich die Amplituden, die Energie dort ist also proportional zu ( A + A ) 2 = ( 2 A ) 2 = 4 A 2 . In einem Minimum subtrahieren sich die Amplituden, die Energie dort ist also proportional zu ( A A ) 2 = ( 0 ) 2 = 0 .

Im Mittel ist also eine Energie vorhanden, welche proportional zu 2 A 2 ist. Dies können wir äußerst anschaulich auch mit Hilfe der vorangegangenen Abbildung verstehen: Schneidet man im Graphen die Bergspitzen, die über die Mittellinie ( I = 2 A 2 ) herausragen, ab, so lassen sich diese passgenau in die Täler unterhalb dieser Linie einfügen.

Wir können also erleichtert aufatmen - die Energieerhaltung ist nicht verletzt!

Ausblick

Wir haben bisher gesehen, wie sich Youngs Beobachtungen auf einfache Weise mit dem Wellenmodell sowohl qualitativ als auch quantitativ erfassen lassen. Mit einem Strahlen- oder Teilchenmodell des Lichtes lassen sich diese Phänomene dagegen nicht erklären. Im Folgenden werden wir unser Wissen verallgemeinern, und zwar für den Fall, dass wir die Interferenzerscheinungen für beliebig große Spaltanzahlen N analysieren. Zunächst aber eine kurze Zusammenfassung.

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