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Doppelspaltversuche

Lage der Interferenzextrema

Berechnung der Lage von Maxima und Minima auf dem Sichtschirm

Um nun analytisch die Winkel zu ermitteln, unter denen auf dem Sichtschirm maximale (bzw. minimale) Helligkeiten sichtbar werden, wenden wir im Folgenden die so genannte Fraunhofer'sche Näherung für das auf dem Schirm entstehende Interferenzmuster (man könnte es genauso gut auch als Beugungsmuster bezeichnen) an. Diese hat zwei Grundvoraussetzungen:

Fraunhofer'sche Betrachtungsweise von Interferenz bzw. Beugung
  1. Die vom beugenden Objekt (z.B. Spalten) ausgesandten Wellenzüge besitzen gleiche Phase ϕ 0 und Amplitude A 0 .
  2. Die Entfernung s des Sichtschirmes ist sehr groß gegenüber der räumlichen Ausdehnung des beugenden Objektes (z.B. Spaltabstand g ).

Von der ersten Voraussetzung sind wir bisher stillschweigend ausgegangen - dass aber für diesen Fall eigentlich noch weitere Begründungen notwendig sind, werden wir später im Kapitel zur Kohärenz sehen. Insbesondere verlangt die Forderung nach gleicher Phase, dass beide Spalte im gleichen Takt durch die von der Lichtquelle auftreffende Wellenfront zur Elementarwellenaussendung angeregt werden (Huygens'sches Prinzip). Dazu ist streng genommen eine ebene Wellenfront nötig, die senkrecht auf den Doppelspalt fällt. Eine solche lässt sich wiederum nur durch eine (idealisiert betrachtet!) unendlich weit entfernte Lichtquelle gewinnen.

Die zweite Voraussetzung bringt uns eine entscheidende Vereinfachung bei den folgenden Herleitungen: Wenn der Abstand des Schirms s sehr groß (idealisiert: unendlich groß) gegenüber dem Spaltabstand g ist, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, so können zwei sich im Punkt P überlagernde Wellenzüge in guter Näherung als parallel zueinander betrachtet werden. Die Fraunhofer'sche Betrachtungsweise "betrachtet" also die Interferenz von zueinander parallelen Wellenzügen, die sich eigentlich im Unendlichen schneiden, weswegen der Schirmabstand groß sein muss, um die so berechneten Interferenzmuster angenähert sehen zu können. Hier gibt es aber einen Trick, wie man auch mit kleinen Sichtschirmentfernungen Fraunhofer'sche Beugung beobachten kann, nämlich durch den Einsatz einer Sammellinse. Wenn Sie sich erinnern, wurde zu Anfang des Kapitels als typische Sichtschirmentfernung etwa 10m gegenüber eines Spaltabstandes in der Größenordnung von etwa 0,1mm erwähnt, was die Fraunhofer'sche Betrachtungsweise in unserer Situation rechtfertigt. In dieser Betrachtungsweise lässt sich mathematisch sehr einfach der Gangunterschied Δ x zwischen zwei Wellenzügen ausdrücken, wie wir gleich in der folgenden Herleitung sehen werden.

Abb.1
Fraunhofer'sche Näherung des Gangunterschiedes beim Doppelspalt

Die Schlangenlinienunterbrechung in der Bildmitte soll den großen Abstand des Schirmes verdeutlichen.

Herleitung: Bedingung an Interferenzextrema
Aus dem in der oben stehenden Abbildung orange unterlegten Dreieck können wir jetzt aufgrund der Fraunhofer'schen Näherung leicht den Gangunterschied Δ x der beiden Wellenzüge im Punkt P ablesen:
Δ x = g sin α
Dabei ist α derjenige Winkel, unter dem P vom Doppelspaltzentrum aus auf dem Sichtschirm liegt.
Die beiden Wellenzüge überlagern sich bei einem Gangunterschied von einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge λ konstruktiv, also wenn Δ x = k λ gilt (für k = 0 , 1 , 2 , ... ). Auf dem Sichtschirm wird folglich unter denjenigen Winkeln α k ein heller Streifen sichtbar, die folgende Gleichung erfüllen (Interferenzmaxima k -ter Ordnung beim Winkel α k ):
g sin α k = k λ
Bei einem Gangunterschied von einem ungeraden Vielfachen der halben Wellenlänge herrscht destruktive Interferenz, also wenn Δ x = 2 k + 1 λ 2 gilt (für k = 0 , 1 , 2 , ... ). Der Sichtschirm bleibt also unter allen Winkeln α k dunkel, die die folgende Gleichung erfüllen (Interferenzminima k -ter Ordnung beim Winkel α k ):
g sin α k = ( 2 k + 1 ) λ 2
Herleitung: Schirmpositionen der Extrema
Mit diesen Winkeln können wir jetzt auch die Orte der Maxima (bzw. Minima) auf dem Sichtschirm bestimmen. Dabei sei d k der Abstand des Maximums (bzw. Minimums) von der Mitte des Sichtschirms, wie in der Abbildung veranschaulicht.
Abb.2
Zur Bestimmung der Positionen von Maxima und Minima auf dem Sichtschirm
Es gilt hier d k = s tan α k .
Herleitung: Abstände der Maxima (Minima) auf dem Sichtschirm
Die Abstände zwischen den einzelnen Maxima erhält man, indem man deren jeweilige Entfernungen vom Schirmzentrum voneinander subtrahiert:
D max = d k + 1 d k = s tan α k + 1 tan α k
Wir betrachten nun Punkte, die im Zentrum des Schirms liegen, für die also d k s gilt. Die nun anwendbare Kleinwinkelnäherung liefert tan α k sin α k , und wir setzen zudem für sin α k = k λ g ein.
Damit ergibt sich als Formel für die Abstände der Interferenzmaxima:
D max = s k + 1 k λ g = λ s g
Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass der Abstand der Maxima sowohl von der benutzten Wellenlänge λ des Lichtes als auch vom Spaltabstand g abhängt (natürlich auch vom Abstand des Schirmes). Dieses Ergebnis deckt sich mit den eingangs angestellten Beobachtungen. Analog folgt natürlich der Abstand der einzelnen Minima im Schirmzentrum ebenfalls zu D min = λ s g .

Da wir bei der Rechnung die Kleinwinkelnäherung benutzt haben, stimmt unser Ergebnis natürlich nur, wenn wir nicht zu weit vom Zentrum des Sichtschirms entfernt beobachten - für zu große Winkel sind die Abstände zwischen den Maxima (bzw. Minima) nicht mehr äquidistant.

Wenn Sie aufmerksam beobachtet haben, so ist Ihnen dieser Sachverhalt bereits beim letzten JPAKMA-Projekt, in dem es um den Gangunterschied ging, aufgefallen. Das lag hier aber mehr daran, dass dort bei der Berechnung des Gangunterschiedes Δ x nicht die vorgestellte Fraunhofer'sche Näherung angewandt wurde (und zusätzlich dazu große Winkel auftraten). Von der Dimensionierung her entspricht der dort berechnete Intensitätsverlauf demjenigen, den man auf einem Sichtschirm, der vergleichsweise nahe hinter dem Doppelspalt steht, also nach der Fresnel'schen Betrachtungsweise beobachten würde.

Die Alternative zur Fraunhofer'schen Betrachtung der Beugung ist die Fresnel'sche Betrachtungsweise.

Fresnel'sche Betrachtungsweise von Interferenz (Beugung)
Bei der Fresnel'schen Betrachtungsweise der Beugung werden Interferenzmuster betrachtet, die entstehen, wenn:
  • der Sichtschirm nahe am beugenden Objekt steht, bzw. die räumlichen Ausmaße des Objektes groß im Vergleich zur Schirmentfernung sind.
  • keine ebenen Wellenfronten auf das beugende Objekt treffen, was einer endlichen Entfernung der Lichtquelle entspricht.
Die Fresnel'sche Betrachtungsweise beschreibt also die Interferenz nichtparalleler Wellenzüge.
Exemplarisch behandeln wir die Fresnel-Linse als eine Anwendung der Fresnel-Beugung.
Fresnel vs. Fraunhofer
Im einleitenden JPAKMA-Projekt "Youngs Interferenzprinzip" wurde kurz erwähnt, dass Richtungen konstruktiver Interferenz eigentlich Hyperbeln sind, wenn wir uns nahe an den beiden betrachteten Quellen befinden, was der Fresnel'schen Betrachtungsweise entspricht. Diese Hyperbeln lassen sich für größere Entfernungen von den Quellen durch ihre Asymptoten, also durch zueinander parallele Geraden annähern, was wieder zur Fraunhofer'schen Betrachtungsweise führt.

Mehr zur Fresnel'schen Betrachtungsweise finden Sie im Abschnitt über die Fresnel'sche Zonenplattenkonstruktion.

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