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Doppelspaltversuche

Intensitätsverteilung

Wie lässt sich die beobachtete Intensitätsverteilung berechnen?

Der Gangunterschied zwischen Wellenzügen
Wir betrachten in der folgenden Abbildung einen beliebigen Punkt P auf unserem Sichtschirm. Diejenigen Ausschnitte der beiden Kreiswellenfronten, die sich in diesem Punkt P überlagern, haben von ihren Ausgangspunkten (Spalt 1 bzw. Spalt 2) gemessen, im Allgemeinen unterschiedlich weite Wege zu durchlaufen.
Abb.1
Gangunterschied der beiden Wellenzüge
Die beiden Wellenzüge weisen einen so genannten Gangunterschied Δ x auf. Natürlich hätten wir hier auch einen beliebigen anderen Punkt P aus dem Raum zwischen Doppelspalt und Sichtschirm betrachten können.

Im nun folgenden JPAKMA-Projekt "Der Gangunterschied" sehen wir wieder einmal den Young`schen Versuchsaufbau von oben. Der Beobachtungspunkt P lässt sich mittels des langen Schiebers über den Sichtschirm bewegen.

Entlang der Verbindungsstrecken der Spalte zum Punkt P sehen Sie eine Momentaufnahme des jeweiligen Wellenzuges durch Vektoren symbolisiert. Diese werden zur besseren Veranschaulichung ihrer Überlagerung auf dem Sichtschirm stets senkrecht zur Bildschirmhorizontalen eingezeichnet - in Wirklichkeit schwingen diese natürlich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des jeweiligen Wellenfrontausschnitts. Länge und Richtung eines Vektors (auch die Einfärbung) geben dabei die momentane Auslenkung am betrachteten Ort wieder.

Die beiden letzten Vektoren der Wellenzüge, die sich im Punkt P auf dem Sichtschirm addieren, sind zusätzlich noch einmal rechts vom Schieber vergrößert angezeichnet, was durch die Lupe symbolisiert wird. Neben diesen beiden sehen Sie innerhalb einer Rechteckskala deren dunkelgrünen Summenvektor, dessen Länge und Richtung der momentanen Auslenkung (Diese entspricht nicht der resultierenden Amplitude, denn diese ist für eine Welle immer konstant!) der resultierenden Welle im Punkt P entsprechen.

Im Graphen wird die von der Schirmposition abhängige relative Intensitätsverteilung dargestellt (hellgrün).

Des Weiteren wird Ihnen am unteren Rand der Gangunterschied Δ x der beiden Wellenzüge in Vielfachen der verwendeten Lichtwellenlänge λ ausgegeben.

Arbeitsauftrag

Starten Sie das Projekt. Benutzen Sie zunächst den voreingestellten Spaltabstandsfaktor und betätigen Sie noch nicht den Button "Animation", während Sie die folgenden Arbeitsaufträge abarbeiten, außer wenn dies ausdrücklich in einer Aufgabe verlangt wird. Vergessen Sie dabei nicht, sich Ihre Ergebnisse zu notieren und diese anschließend mit der Zusammenfassung zu vergleichen!Nutzen Sie diese Gelegenheit, um Ihre Selbsteinschätzungsfähigkeit ihres aktuellen Wissensstands zu verbessern.

  • Suchen Sie mittels des Schiebers Stellen auf dem Sichtschirm, an denen die beiden letzten Vektoren der beiden Wellenzüge gleichphasig bzw. gegenphasig gerichtet sind. Welche Gangunterschiede herrschen an diesen Stellen? Lässt sich für diese Orte eine Regel auffinden?
  • Starten Sie nun an den zuvor aufgefundenen Stellen konstruktiver (bzw. destruktiver) Interferenz die Wellen mit dem Button "Animation" - gegebenenfalls müssen Sie dazu diese Stellen zunächst wieder neu auffinden. Während die Wellen laufen, sollen keine Parameter mehr verändert werden. Zum Stoppen betätigen Sie erneut den Button. Wo sieht man in der Animation die Amplitude A r e s der resultierenden Schwingung (Achtung, es ist hier nicht die momentane Auslenkung gemeint!) - und wie kommt diese zustande? Wie groß ist die Amplitude an den betrachteten Orten? Wie hängt die Intensität an diesen Orten mit der resultierenden Amplitude A r e s zusammen?
  • Suchen Sie nun Stellen auf dem Sichtschirm, an denen weder konstruktive noch destruktive Interferenz herrscht. Was gilt hier für die resultierende Amplitude bzw. für die zu beobachtende Intensität auf dem Sichtschirm?
  • Wie ändert sich der Gangunterschied zwischen beiden Wellenzügen, wenn bei festem Ort der Spaltabstand verkleinert (bzw. vergrößert) wird?

Nach Bearbeiten der Aufgaben dürfen Sie nun selbst nach Belieben alle Parameter variieren. Treffen Sie (schriftlich!) Voraussagen über die Auswirkung einer Parameteränderung, bevor Sie dann die entsprechenden Änderungen tatsächlich vornehmen und deren Effekt mit Ihrer Vorhersage vergleichen. Wenn Sie das Gefühl haben, die gesamte Situation in allen erwähnten Punkten im Griff zu haben, dann lassen Sie sich die Zusammenfassung anzeigen, indem Sie auf "Lösung zeigen" klicken.

Abb.2
JPAKMA-Projekt "Der Gangunterschied"

Der Gangunterschied zwischen den beiden Wellenzügen beeinflusst die Größe der Amplitude A r e s der resultierenden Welle im jeweiligen Beobachtungspunkt P. Diese resultierende Amplitude lässt sich als die maximale Länge des dunkelgrünen Vektors ablesen, die dieser beim Starten der Animation erreicht. Es genügt also für die Amplitudenbestimmung nicht, nur eine Momentaufnahme in unserem Projekt zu betrachten. Beispiel: Für Δ x = λ ist die Länge des dunkelgrünen Vektors in der Momentaufnahme im Allgemeinen ungleich 2 A 0 . Beginnt er jedoch zu schwingen, so sieht man, dass er dies zwischen den maximalen Auslenkungen 2 A 0 und 2 A 0 tut. Die resultierende Amplitude ist hier also 2 A 0 . Die Intensität am jeweils betrachteten Ort ist proportional zum Quadrat der dort resultierenden Amplitude A r e s . Da die Intensität im Graphen relativ aufgetragen ist, wurden die Maxima der Größe ( 2 A 0 ) 2 = 4 A 0 2 auf 1 normiert. An allen Stellen, an denen der Gangunterschied ein geradzahliges Vielfaches der Wellenlänge ( 1 λ , 2 λ , 3 λ ,... - auch 0 λ , dies entspricht gerade der Schirmmitte) beträgt, ist die resultierende Amplitude maximal, es herrscht dort konstruktive Interferenz (Helligkeit). An allen Stellen, an denen der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge (z.B. 0,5 λ , 1,5 λ ,...) beträgt, ist die resultierende Amplitude gleich Null (also minimal), es herrscht dort destruktive Interferenz (Dunkelheit). Bei kleiner werdenden Spaltabständen werden an gleichbleibenden Orten auf dem Sichtschirm auch die Gangunterschiede kleiner, weswegen die Helligkeitsmaxima (ebenso die Helligkeitsminima) weiter auseinander rücken (und umgekehrt).

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