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Exkurs: Herleitung der Antireflexbedingung

Interferenzen an dünnen Schichten - Exkurs: Herleitung der Antireflexbedingung

Exkurs: Herleitung der Antireflexbedingung

Herleitung der Antireflexbedingung n S n G
Wie zuvor erwähnt wurde, sollte für die Brechzahl n S der Antireflexschicht gelten:
n S n G
Diese Bedingung kommt aus der Forderung, dass die Amplituden der an den beiden verschiedenen Grenzflächen reflektierten Wellenzüge gleich groß sein sollen, um möglichst völlige destruktive Interferenz zwischen diesen zu erreichen.
Das Verhältnis von einfallender zu reflektierter Amplitude geben die Fresnel`schen Formeln ("Fresnel I" oder auch "Fresnel III" - relative reflektierte Amplituden für Parallel- bzw. Vertikalkomponente des auf eine Grenzschicht fallenden Lichtes) wieder.
In unserem Fall für senkrechten Lichteinfall α = β = 0 ° betrachten wir z.B. die relative reflektierte Amplitude für die Parallelkomponente ("Fresnel III"):
E r E e 1 = tan ( α β ) tan ( α + β )
Diese formen wir mittels der entsprechenden Additionstheoreme um:
( E r E e ) 1 = tan ( α β ) tan ( α + β ) = tan α tan β 1 + tan α tan β tan α + tan β 1 tan α tan β = sin α cos β sin β cos α cos α cos β + sin α sin β sin α cos β + sin β cos α cos α cos β sin α sin β
= sin α cos α cos 2 β sin β cos β cos 2 α sin β cos β sin 2 α + sin α cos α sin 2 β sin α cos α cos 2 β + sin β cos β sin 2 α + sin β cos β cos 2 α + sin α cos α sin 2 β
Und vereinfachen diesen Ausdruck mittels sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 ) und unter Verwendung des Brechungsgesetzes n 1 sin α = n 2 sin β zu:
( E r E e ) 1 = sin α cos α sin β cos β sin α cos α + sin β cos β = sin α ( cos α n 1 n 2 cos β ) sin α ( cos α + n 1 n 2 cos β ) = n 1 cos β n 2 cos α n 1 cos β + n 2 cos α
Für den von uns betrachteten Fall der senkrechten Reflexion an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien (mit Brechzahlen n 1 und n 2 ) ergibt sich also allgemein die relative reflektierte Amplitude wie folgt:
( E r E e ) 1 = n 1 cos 0 n 2 cos 0 n 1 cos 0 + n 2 cos 0 = n 1 n 2 n 1 + n 2
Bei unserer Antireflexschicht müssen die an der Oberseite (Grenzfläche Luft-Antireflexschicht) bzw. an der Unterseite (Grenzfläche Antireflexschicht-Glas" reflektierten Amplituden wie bereits begründet gleich sein, es folgt also mit n Luft 1 :
( E r E e ) Oberseite = ( E r E e ) Unterseite
1 n S 1 + n S = n S n G n S + n G
( 1 n S ) ( n S + n G ) = ( n S n G ) ( 1 + n S )
n S + n G n S 2 n S n G = n S n G + n S 2 n G n S
2 n S 2 = 2 n G
Und daraus schließlich - danke für Ihr Durchhaltevermögen - die Antireflexbedingung:
n S = n G
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