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Wellenüberlagerung, Interferenz und stehende Wellen

Stehende Wellen

eindimensionale stehende Welle

Regt man ein eingespanntes Seil zum Schwingen an, bilden sich an bestimmten Stellen Schwingungsbäuche und Schwingungsknoten aus. Je nachdem, ob die Enden fest sind oder lose, können an bestimmten Stellen ein Wellenknoten oder ein Wellenbauch, entstehen.

Arbeitsauftrag

Sehen Sie sich das Video an und überlegen Sie sich, was ein Wellenbauch und was ein Wellenknoten ist.

Abb.1
Eine stehende Welle

Grund- und Oberschwingungen eindimensional

In den folgenden Bildern ist zu jeder möglichen Erscheinungsform von stehenden Wellen ein Beispiel gegeben. In jedem Diagramm werden durch die zwei Kurven jeweils zwei Extrempositionen des Schwingungsablaufs dargestellt.

Links ist der Fall zu sehen, bei dem der Wellenträger an beiden Enden frei ausschwingen kann. In der Mitte ist der Fall gezeigt, bei dem ein Ende fest ist und das andere lose schwingt. Und rechts ist die dritte Möglichkeit gezeigt: Der Wellenträger hat zwei feste Enden. Von oben nach unten sind zuerst die jeweiligen Grundschwingungen und dann die dazugehörigen Oberschwingungen zu sehen. Oberschwingung bedeutet, dass sich auf dem Wellenträger eine Anzahl von halben Wellenlängen mehr ausgebildet hat.

Erklärung: Eine stehende Welle kann durch Überlagerung zweier entgegengesetzter Wellen mit gleicher Frequenz, Amplitude und Wellenlänge erzeugt werden. In festen Abständen von einer halben Wellenlänge bilden sich Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche aus.

Zusammenhang zwischen Wellenträgerlänge und Wellenlänge der stehenden Welle

Es gibt einen Zusammenhang zwischen Wellenträgerlänge und der Wellenlänge der stehenden Welle. Eine notwendige Bedingung zur Ausbildung einer stehenden Welle ist, dass die Wellenträgerlänge genau ein ganzzahliges Vielfaches von λ / 2 ist, weil immer entgegengesetzte Wellenphasen aufeinander treffen müssen. Je nachdem, welchen Fall (lose Enden, ein festes und ein loses Ende oder feste Enden) man vorliegen hat, kann man davon ausgehend alle Oberschwingungen bestimmen.

Bei der Grundschwingung, der einfachsten Form der Eigenschwingung, bildet sich bei zwei gleichen Enden, beide lose oder fest, eine halbe Wellenlänge auf dem Träger aus. Hat man zwei verschiedenartige Enden, so erhält man den vierten Teil einer Wellenlänge auf dem Wellenträger. Bei jeder weiteren Oberschwingung kommt in beiden Fällen eine halbe Wellenlänge zu den bereits vorhandenen dazu. Man kann dies auch in Formeln fassen.

1. Fall: zwei gleiche Enden

Hat man zwei lose oder zwei feste Enden, so ist der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und der Länge des Wellenträgers der Folgende:

λ n = 2 l n + 1 .

Hierbei bezeichnet l die Länge des Wellenträgers und n die n-te Oberschwingung. Beim Zeichnen muss man unterscheiden, ob eine stehende Welle mit losen oder mit festen Enden gesucht ist. Je nachdem sind an beiden Enden Schwingungsbäuche oder Schwingungsknoten zu zeichnen.

Es gibt auch einen einfachen Zusamenhang für die Frequenz der Grundschwingung und die einer beliebigen Oberschwingung:

f n = f 0 ( n + 1 ).

Hierbei bezeichnet f die Frequenz der Grundschwingung und f n die Frequenz der n-ten Oberschwingung.

2. Fall: ein loses und ein festes Ende

Bei zwei unterschiedlichen Enden kann man den Zusammenhang zwischen Wellenlänge und der Länge des Wellenträgers wie folgt beschreiben:

λ n = 4 l 2 n + 1 .

Hierbei sind die gleichen Bezeichnungen wie oben verwendet, d.h. l gibt die Länge des Wellenträgers und n die n-te Oberschwingung an.

Auch für die Frequenzen gibt es einen Zusammenhang zwischen der Grundfrequenz f 0 und der Frequenz der n-ten Oberschwingung f n :

f n = f 0 ( 2 n + 1 ) .
Beispiel

Ein Musterbeispiel für stehende Wellen sind die schwingenden Saiten eines Musikinstruments.

Bei einem Musikinstrument, zum Beispiel bei einer Geige, wird ein höherer Ton durch das Verkürzen der Saite durch einen aufgelegten Finger erzeugt. Die Saite wird verkürzt und die sich ausbildende stehende Welle hat eine kürzere Wellenlänge und damit eine höhere Frequenz als die frei schwingende Saite und gibt somit einen höheren Ton von sich.

Auch bei anderen Musikinstrumenten, die keine Saiten haben, wie zum Beispiel Blasinstrumente jeglicher Art, spielen stehende Wellen eine große Rolle. Durch das Hineinblasen bringt man die Luft im Instrument zum Schwingen und zum Ausbilden stehender Wellen.

Grund- und Oberschwingungen 2-dimensional

Stehende Wellen gibt es aber nicht nur in einer Dimension auf längs ausgedehnten Wellenträgern. Es bilden sich auch stehende Wellen in zwei Dimensionen aus. Dies ist zum Beispiel im folgenden Video der Fall. Sie sehen hier eine Membran, die zum Schwingen angeregt wird und eine stehende Welle ausbildet.

Abb.2
Die Grundschwingung einer Membran, alle vier unter der Membran angebrachte Lautsprecher senden gleichphasig.
Arbeitsauftrag

Überlegen Sie sich, wie die erste Oberschwingung zur eben gesehenen Grundschwingung aussehen wird, und sehen Sie sich dann das Video dazu an.

Abb.3
Die erste Oberschwingung einer Membran, alle vier unter der Membran angebrachte Lautsprecher senden gleichphasig.

In den folgenden beiden Videos sehen Sie noch zwei weitere Oberschwingungen der gleichen Membran.

Abb.4
Schwingung einer Membran, zwei nebeneinander liegende Lautsprecher sind in Phase und die beiden anderen dazu gegenphasig.
Abb.5
Schwingung einer Membran, in der Diagonalen sind die beiden Lautsprecher gleichphasig, nebeneinander liegende sind gegenphasig.

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