Grundlagen der Wellenlehre
Ergänzung: Allgemeine Wellengleichung
Die beschriebene Größe lässt sich nicht nur als Auslenkung einer Transversalwelle identifizieren, sondern kann als eine beliebige skalare oder vektorielle Größe (z.B. als Druck ) verstanden werden. So kann man die Betrachtung auch für Longitudinalwellen anstellen.
Alle Wellenfunktionen gehorchen dabei einer Differenzialgleichung, die wir hier nur angeben möchten.
- Allgemeine eindimensionale Wellengleichung
Auch unsere gefundene Lösungsfunktion erfüllt diese Gleichung. Für gilt: und womit sich: ergibt, wie von der allgemeinen Wellengleichung gefordert, denn es gilt:.
Für den dreidimenionalen Fall wird in der Wellengleichung die eindimensionale Ortsvariable durch die drei Ortsvariablen , und ersetzt. Entsprechend treten auf der rechten Seite noch zwei zusätzliche partielle Ortsableitungen hinzu:
Um die etwas längliche Schreibweise der Ortsableitung zu verkürzen, kann man auch den so genannten Laplace-Operator verwenden mit
Somit reduziert sich die dreidimensionale Wellengleichung auf den folgenden Ausdruck.
- Allgemeine Wellengleichung für den dreidimensionalen Fall