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Grundlagen der Wellenlehre

Ergänzung: Allgemeine Wellengleichung

Die beschriebene Größe ψ lässt sich nicht nur als Auslenkung einer Transversalwelle identifizieren, sondern kann als eine beliebige skalare oder vektorielle Größe (z.B. als Druck ψ = p ) verstanden werden. So kann man die Betrachtung auch für Longitudinalwellen anstellen.

Alle Wellenfunktionen gehorchen dabei einer Differenzialgleichung, die wir hier nur angeben möchten.

Allgemeine eindimensionale Wellengleichung
2 ψ ( z , t ) t 2 = c P h 2 2 ψ ( z , t ) z 2

Auch unsere gefundene Lösungsfunktion erfüllt diese Gleichung. Für ψ = A cos ( ω t k z ) gilt: 2 ψ t 2 = ω 2 A cos ( ω t k z ) und 2 ψ z 2 = k 2 A cos ( ω t k z ) womit sich: 2 ψ t 2 = ( ω k ) 2 2 ψ z 2 ergibt, wie von der allgemeinen Wellengleichung gefordert, denn es gilt: c Ph = ω k .

Für den dreidimenionalen Fall wird in der Wellengleichung die eindimensionale Ortsvariable z durch die drei Ortsvariablen x , y und z ersetzt. Entsprechend treten auf der rechten Seite noch zwei zusätzliche partielle Ortsableitungen hinzu:

2 ψ ( x , y , z , t ) t 2 = c P h 2 ( 2 ψ ( x , y , z , t ) x 2 + 2 ψ ( x , y , z , t ) y 2 + 2 ψ ( x , y , z , t ) z 2 ) .

Um die etwas längliche Schreibweise der Ortsableitung zu verkürzen, kann man auch den so genannten Laplace-Operator verwenden mit

Δ = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 .

Somit reduziert sich die dreidimensionale Wellengleichung auf den folgenden Ausdruck.

Allgemeine Wellengleichung für den dreidimensionalen Fall
ψ ¨ = c P h 2 Δ ψ
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