Ergänzung: Allgemeine Wellengleichung

Die beschriebene Größe $\psi$ lässt sich nicht nur als Auslenkung einer Transversalwelle identifizieren, sondern kann als eine beliebige skalare oder vektorielle Größe (z.B. als Druck $\psi =p$ ) verstanden werden. So kann man die Betrachtung auch für Longitudinalwellen anstellen.

Alle Wellenfunktionen gehorchen dabei einer Differenzialgleichung, die wir hier nur angeben möchten.

Allgemeine eindimensionale Wellengleichung

$\frac{{\partial }^2\psi (z,t)}{\partial t^2}=c_{Ph}^2\frac{{\partial }^2\psi (z,t)}{\partial z^2}$

Auch unsere gefundene Lösungsfunktion erfüllt diese Gleichung. Für $\psi =A\cdot cos(\omega t-kz)$ gilt:$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-{\omega }^2\cdot A\cdot cos(\omega t-kz)$ und$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=-k^2\cdot A\cdot cos(\omega t-kz)$ womit sich:$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}={\left(\frac{\omega }{k}\right)}^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}$ ergibt, wie von der allgemeinen Wellengleichung gefordert, denn es gilt:$c_{\text{Ph}}=\frac{\omega }{k}$.

Für den dreidimenionalen Fall wird in der Wellengleichung die eindimensionale Ortsvariable $z$ durch die drei Ortsvariablen $x$,$y$ und$z$ ersetzt. Entsprechend treten auf der rechten Seite noch zwei zusätzliche partielle Ortsableitungen hinzu:

$$\frac{{\partial }^2\psi (x,y,z,t)}{\partial t^2}=c_{Ph}^2\left(\frac{{\partial }^2\psi (x,y,z,t)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi (x,y,z,t)}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi (x,y,z,t)}{\partial z^2}\right)\text{.}$$

Um die etwas längliche Schreibweise der Ortsableitung zu verkürzen, kann man auch den so genannten Laplace-Operator verwenden mit

$$\text{Δ}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\text{.}$$

Somit reduziert sich die dreidimensionale Wellengleichung auf den folgenden Ausdruck.

Allgemeine Wellengleichung für den dreidimensionalen Fall

$\ddot{\psi }=c_{Ph}^2\cdot \text{Δ}\psi$