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Grundlagen der Wellenlehre

Superposition von Wellen

Da die gefundenen Wellenfunktionen Lösungen der Wellendifferenzialgleichung darstellen, sind demnach auch Linearkombinationen dieser Lösungen wiederum Lösungen der Differenzialgleichung. Speziell wollen wir im Folgenden den Fall einer einfachen Überlagerung zweier Wellenfunktionen betrachten. Dabei wird die resultierende Wellenfunktion ψ zweier in z-Richtung laufender Wellen durch die Summe der Einzelwellen gebildet:

ψ = A cos ( ω 1 t k 1 z ) + A cos ( ω 2 t k 2 z )

Diese Funktion lässt sich aufgrund der trigonometrischen Beziehung mit einer mittleren Kreisfrequenz ω ¯ = 1 2 ( ω 1 + ω 2 ) , der mittleren Wellenzahl k ¯ = 1 2 ( k 1 + k 2 ) der Differenz der Frequenzen Δ ω = ω 1 ω 2 und der Wellenzahldifferenz Δ k = k 1 k 2 zusammengefasst schreiben:

ψ = 2 A cos ( Δ ω 2 t Δ k 2 z ) Amplitude cos ( ω ¯ t k ¯ z ). ebene Welle

Damit haben wir ein Ergebnis, das analog ist zu dem im Kapitel Überlagerung von Schwingungen. Hier breitet sich eine Wellenform mit langsam veränderlicher Amplitude im Medium aus. Die Periodendauer einer Gruppe ist T Gr = 2 π Δ ω , die Wellenlänge ist entsprechend λ = 2 π Δ k . Verfolgt man nun eine Gruppe mit konstanter Gruppenphase

ϕ G r = Δ ω 2 t Δ k 2 z = const .

durch das Medium, indem man sich in Gedanken auf die Gruppe setzt, dann findet man durch Differenziation die so genannte Gruppengeschwindigkeit

Gruppengeschwindigkeit
c Gr = d z d t = Δ ω Δ k Δ k 0 d ω d k

Ein numerischer Unterschied zwischen der Phasengeschwindigkeit c Ph und der Gruppengeschwindigkeit c Gr tritt nur im Fall auf, dass ω nicht linear von k abhänigig ist. Das bedeutet, dass sich die Wellen abhängig von Ihrer Frequenz unterschiedlich schnell ausbreiten. Man spricht dann von Dispersion, womit wir uns noch später in einem gesonderten Abschnitt beschäftigen werden.

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