1. Aufgabe

a) Die Machzahl ist $M=\frac{u}{c}=\mathrm{2,5}$ Den halben Öffnungswinkel berechnet man mit $sin\beta =\frac{c}{u}=\frac{1}{\mathrm{2,5}}$ zu $\beta =\mathrm{23,6}°$ Damit ist der gesamte Öffnungswinkel $\alpha =\mathrm{47,2}°$

b) Der Knall erreicht den Boden im Winkel $\gamma$ über der Horizontalen. Mit der Flughöhe $h$ und dem horizontalen Abstand vom Beobachter zum Ort direkt unter dem Flugzeug folgt $tan\gamma =\frac{h}{x}$ und damit $x=h\cdot \text{tan}\gamma =\text{11,5km}$. Beim Hören des Knalls hat das Flugzeug eine Strecke von $\mathrm{11,5}\text{km}$ zurückgelegt.

2. Aufgabe

Für die Wellenlängenänderung gilt nach der zugehörigen Doppler-Formel:

$${\lambda }_{\text{E}}=\frac{c-u_{\text{E}}}{{\nu }_{\text{S}}}=\frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}-34\frac{\text{m}}{\text{s}}}{400\frac{\text{1}}{\text{s}}}=\mathrm{0,765}\text{m.}$$

Für die empfangene Frequenz gilt somit ${\nu }_{\text{E}}=\frac{c}{{\lambda }_{\text{E}}}=\frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\mathrm{0,765}\text{m}}=440\text{Hz}$. Die registrierte Frequenz ist $440\text{Hz}$.

Hier ist die anschauliche Argumentation zur Lösung der Aufgabe:

Da der Empfänger sich mit 10 % der Schallgeschwindigkeit dem Sender nähert, hat er nicht nur so viele Wellenberge gequert, wie der Sender in dieser Zeit ausstrahlt, sondern noch 10 % mehr. Dadurch ändert sich die Frequenz auch um 10 %.

3. Aufgabe

a) Die gesuchte Frequenz berechnet sich folgendermaßen:

$$\nu =\frac{u}{\lambda }=\frac{\mathrm{8,9}\frac{\text{m}}{\text{s}}}{15\text{m}}=\mathrm{0,593}\text{Hz.}$$

Die Wellenfrequenz am Boot ist $\mathrm{0,593}\text{Hz}$ .

b) Die Geschwindigkeit der Wellen relativ zum Boot ist $\text{15}\frac{\text{m}}{\text{s}}+\mathrm{8,9}\frac{\text{m}}{\text{s}}=\mathrm{23,9}\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Die Wellenlänge ist konstant $15\text{m}$ ; sie ändert sich nicht durch die Bewegung des Bootes. Also ist die Frequenz: $\nu =\frac{u}{\lambda }=\frac{\mathrm{23,9}\frac{\text{m}}{\text{s}}}{15\text{m}}=\mathrm{1,59}\text{Hz}$. Das Boot registriert die Frequenz $\mathrm{1,59}\text{Hz}$ .

4. Aufgabe

Mit der Doppler-Formel ${\nu }_{\text{E}}={\nu }_{\text{S}}\frac{1}{1+\frac{u}{c}}$ ergibt sich für die Geschwindigkeit der Stimmgabel $u=\left(\frac{{\nu }_{\text{S}}}{{\nu }_{\text{E}}}-1\right)c=\mathrm{37,8}\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Die Stimmgabel befindet sich im freien Fall. Daher wird die Geschwindigkeit in der Zeit $t_1=\frac{u}{g}=\mathrm{3,85}\text{s}$ erreicht. In dieser Zeit legt die Stimmgabel die Strecke $s=\frac{1}{2}g{t}_1^2=\mathrm{72,7}\text{m}$ zurück. Bis der Schall oben wieder ankommt, vergeht die Zeit $t_2=\frac{\mathrm{72,7}\text{m}}{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\mathrm{0,21}\text{s}$. Die gesuchte Frequenz wird $\mathrm{4,06}\text{s}$ nach dem Loslassen registriert. In dieser Zeit ist die Stimmgabel $81\text{m}$ tief gefallen.

5. Aufgabe

Gehen wir vom Empfänger aus. Der Empfänger empfängt vom Sender, den wir vorerst als ruhend annehmen, nach der Dopplerformel die Wellenlänge

$${\lambda }_{\text{E}}={\lambda }_{\text{S}}(1\mp \frac{u_{\text{S}}}{c})\text{.}$$

Da der Sender sich aber dem Empfänger nähert, ist die gesendete Wellenlänge ${\lambda }_{\text{S}}$ die empfangene Frequenz aus der Dopplerformel für ruhenden Empfänger und bewegten Sender ${\lambda }_{\text{E}}=\frac{{\lambda }_{\text{S}}}{1\pm \frac{u_{\text{E}}}{c}}\text{.}$

Setzt man in der ersten Gleichung für ${\lambda }_{\text{S}}$ die zweite Gleichung für ${\lambda }_{\text{E}}$ ein, so erhält man

$$\begin{array}{c}{\lambda }_{\text{E}}={\lambda }_{\text{S}}\frac{1\mp \frac{u_{\text{S}}}{c}}{1\pm \frac{u_{\text{E}}}{c}}\text{.}\end{array}$$

Für die Frequenz argumentiert man analog. Man setzt in der Doppler-Gleichung für bewegten Empfänger und ruhenden Sender für die gesendete Frequenz ${\nu }_{\text{S}}$ die in der Doppler-Gleichung für ruhenden Empfänger und bewegten Sender empfangene Frequenz ${\nu }_{\text{E}}$ ein. Man erhält dann direkt: $\begin{array}{c}{\nu }_{\text{E}}={\nu }_{\text{S}}\frac{1\pm \frac{u_{\text{E}}}{c}}{1\mp \frac{u_{\text{S}}}{c}}\text{.}\end{array}$

6. Aufgabe

a)

Man muss hierbei beachten, dass die roten Blutkörperchen zunächst bewegte Empfänger sind.

Das rote Blutkörperchen empfängt also die Frequenz:

$$f_{\text{RBK}}=\frac{c+u}{\lambda }=\frac{c+u}{\frac{c}{f_{\text{S}}}}=f_{\text{S}}\frac{c+u}{c}\text{.}$$

Das rote Blutkörperchen bewegt sich bei der Streuung weiter. damit handelt es sich um einen bewegten Sender. Der Empfänger registriert die Frequenz:

$$f_{\text{E}}=\frac{c}{\lambda -u\cdot T}=\frac{c}{\frac{c}{f_{\text{RBK}}}-\frac{u}{f_{\text{RBK}}}}=f_{\text{RBK}}\frac{c}{c-u}\text{.}$$

Setzt man nun die erste in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich

$$f_{\text{E}}=f_{\text{S}}\frac{c+u}{c}\cdot \frac{c}{c-u}=f_{\text{S}}\frac{c+u}{c-u}\text{.}$$

Der Unterschied zwischen der gesendeten und der empfangenen Frequenz ist

$$\Delta f=f_{\text{E}}-f_{\text{S}}=f_{\text{S}}\frac{c+u}{c-u}-f_{\text{S}}=f_{\text{S}}(\frac{c+u}{c-u}-1)$$

$$=f_{\text{S}}(\frac{(c+u)-(c-u)}{c-u})=f_{\text{S}}\frac{2u}{c-u}\text{.}$$

Um zum Endergebnis zu kommen, nähert man nun. Da die Geschwindigkeiten der roten Blutkörperchen sehr klein sind im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit, kann man im Nenner $c-u$ durch $c$ ersetzen und erhält dann als Lösung für die Frequenzverschiebung

$$\Delta f=f_{\text{S}}\frac{2u}{c}\text{.}$$

Die Fließgeschwindigkeit der roten Blutkörperchen erhält man, indem man die obige Gleichung auflöst zu $u=\frac{\Delta f}{2f_{\text{S}}}c\text{.}$

b)

Durch einen Winkel $\alpha$, den das Messgerät mit den Blutbahnen einschließt, ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Man ersetzt nur die auftretenden Geschwindigkeiten $u$ durch die Projektion in die Ebene, also durch $u\cdot cos\alpha$. Für die Frequenzänderung erhält man dann

$$\text{Δ}f=f_{\text{S}}\frac{2u\cdot cos\alpha }{c}\text{.}$$

Und für die Fließgeschwindigkeit erhält man durch Auflösen der obigen Gleichung

$$u=\frac{\text{Δ}f}{2f_{\text{S}}}\cdot \frac{c}{cos\alpha }\text{.}$$