Dopplereffekt, Machkegel und Überschall
Lösungen
1. Aufgabe
a) Die Machzahl ist Den halben Öffnungswinkel berechnet man mit zu Damit ist der gesamte Öffnungswinkel
b) Der Knall erreicht den Boden im Winkel über der Horizontalen. Mit der Flughöhe und dem horizontalen Abstand vom Beobachter zum Ort direkt unter dem Flugzeug folgt und damit . Beim Hören des Knalls hat das Flugzeug eine Strecke von zurückgelegt.
2. Aufgabe
Für die Wellenlängenänderung gilt nach der zugehörigen Doppler-Formel:
Für die empfangene Frequenz gilt somit . Die registrierte Frequenz ist .
Hier ist die anschauliche Argumentation zur Lösung der Aufgabe:
Da der Empfänger sich mit 10 % der Schallgeschwindigkeit dem Sender nähert, hat er nicht nur so viele Wellenberge gequert, wie der Sender in dieser Zeit ausstrahlt, sondern noch 10 % mehr. Dadurch ändert sich die Frequenz auch um 10 %.
3. Aufgabe
a) Die gesuchte Frequenz berechnet sich folgendermaßen:
Die Wellenfrequenz am Boot ist .
b) Die Geschwindigkeit der Wellen relativ zum Boot ist . Die Wellenlänge ist konstant ; sie ändert sich nicht durch die Bewegung des Bootes. Also ist die Frequenz: . Das Boot registriert die Frequenz .
4. Aufgabe
Mit der Doppler-Formel ergibt sich für die Geschwindigkeit der Stimmgabel . Die Stimmgabel befindet sich im freien Fall. Daher wird die Geschwindigkeit in der Zeit erreicht. In dieser Zeit legt die Stimmgabel die Strecke zurück. Bis der Schall oben wieder ankommt, vergeht die Zeit . Die gesuchte Frequenz wird nach dem Loslassen registriert. In dieser Zeit ist die Stimmgabel tief gefallen.
5. Aufgabe
Gehen wir vom Empfänger aus. Der Empfänger empfängt vom Sender, den wir vorerst als ruhend annehmen, nach der Dopplerformel die Wellenlänge
Da der Sender sich aber dem Empfänger nähert, ist die gesendete Wellenlänge die empfangene Frequenz aus der Dopplerformel für ruhenden Empfänger und bewegten Sender
Setzt man in der ersten Gleichung für die zweite Gleichung für ein, so erhält man
Für die Frequenz argumentiert man analog. Man setzt in der Doppler-Gleichung für bewegten Empfänger und ruhenden Sender für die gesendete Frequenz die in der Doppler-Gleichung für ruhenden Empfänger und bewegten Sender empfangene Frequenz ein. Man erhält dann direkt:
6. Aufgabe
a)
Man muss hierbei beachten, dass die roten Blutkörperchen zunächst bewegte Empfänger sind.
Das rote Blutkörperchen empfängt also die Frequenz:
Das rote Blutkörperchen bewegt sich bei der Streuung weiter. damit handelt es sich um einen bewegten Sender. Der Empfänger registriert die Frequenz:
Setzt man nun die erste in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich
Der Unterschied zwischen der gesendeten und der empfangenen Frequenz ist
Um zum Endergebnis zu kommen, nähert man nun. Da die Geschwindigkeiten der roten Blutkörperchen sehr klein sind im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit, kann man im Nenner durch ersetzen und erhält dann als Lösung für die Frequenzverschiebung
Die Fließgeschwindigkeit der roten Blutkörperchen erhält man, indem man die obige Gleichung auflöst zu
b)
Durch einen Winkel , den das Messgerät mit den Blutbahnen einschließt, ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Man ersetzt nur die auftretenden Geschwindigkeiten durch die Projektion in die Ebene, also durch . Für die Frequenzänderung erhält man dann
Und für die Fließgeschwindigkeit erhält man durch Auflösen der obigen Gleichung