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Harmonische Schwingungen

Harmonische Approximation am Beispiel des Stangenpendels

Unter einem Stangenpendel wollen wir einen Schwinger verstehen, der aus einem punktförmigen Massenstück m besteht, das an einer als masselos anzunehmenden Stange der Länge l befestigt ist. Den Auslenkungswinkel aus der Vertikalen bezeichnen wir im Folgenden mit ϕ .

Stangenpendel für kleine Auslenkungen

Arbeitsauftrag

  • Starten Sie das Stangenpendel mit verschiedenen Anfangsbedingungen!
  • Kann man bei dieser Bewegung noch von einer harmonischen Schwingung sprechen?
  • Versuchen Sie für ein Stangenpendel der Masse m die Bewegungsgleichung für den Auslenkungswinkel ϕ aufzustellen!
Abb.1
JPAKMA-Projekt "Stangenpendel mit kleiner Auslenkung"

Um das Medienelement zu starten, klicken Sie bitte auf das Bild. Daraufhin öffnet sich ein neues Fenster. Bevor Sie die Animation benutzen können, müssen Sie den Play-Knopf (oben, blaues Dreieck) aktivieren.

Lösung

Die Differenzialgleichung für ein Stangenpendel der Länge l lautet:

ϕ ¨ = g l sin ( ϕ )

Diese lässt sich nicht einfach lösen. Für kleine Winkel gilt die Approximation sin ( ϕ ) ϕ (Taylorentwicklung). Die Differenzialgleichung vereinfacht sich dadurch zu:

ϕ ¨ = g l ϕ

Nun lässt sich diese Differenzialgleichung analog zur Differenzialgleichung für das Federpendel lösen:

ϕ ( t ) = ϕ 0 sin ( ω t ) ω = g l T = 2 π l g

Stangenpendel für große Auslenkungen

Nun soll herausgefunden werden, ab wann diese harmonische Approximation nicht mehr geeignet ist.

Arbeitsauftrag

Untersuchen Sie die folgenden Fragestellungen!

  • Wie hängt die Schwingungsdauer von der Auslenkung ab?
  • Bestimmen Sie anhand des Projektes ungefähr die Auslenkung (angegeben in ° ), ab der die Schwingungsdauer um mehr als 20 % von der Schwingungsdauer einer noch als harmonisch bezeichenbaren Schwingung des Stangenpendels (bei ϕ = 5 ° ) abweicht.
Abb.2
JPAKMA-Projekt "Stangenpendel für große Auslenkungen"

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Lösung

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