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Lösung

a) Die Gleichgewichtslage wird zum ersten Mal wieder nach einer viertel Periodendauer erreicht. Bei dieser harmonischen Schwingung handelt es sich um eine Schwingung, die mit einer Federschwingung vergleichbar ist: Wir haben eine schwingende Masse m = mspinne + mkäfer = 1 g + 3 g = 4 g = 0,004 kg und eine Federhärte des Netzes D , die sich wie folgt berechnet: Im gespanntesten Punkt des Netzes nach Auftreffen des Käfers und kurz vor Einsetzen der Schwingung gilt die Energieerhaltung:

Ek,käfer = Espann

Also gilt:

1 2 mkäfer v 0 2 = 1 2 D s 0 2

Dabei ist s 0 die Auslenkung aus der Ruhelage des Netzes, also der Betrag der Dehnung durch Auftreffen des Käfers. Damit können wir D berechnen:

D = v 0 2 mkäfer s 0 2 = 0,003 kg 1 m 2 s 2 0,0001 m ² = 30 kg s ² = 30 N m

Da es sich bei dieser Schwingung um eine harmonische Schwingung handelt, berechnet sich die Periodendauer dann zu:

T = 2 π m D = 2 π 0.004 kg 30 N m = 2 π 0,004 kg 30 m 2 s 2 = 0,07 s

Also sind Käfer und Spinne nach T 4 = 0,018 s wieder in der Ruhelage.

b) Die Gesamtenergie einer Federschwingung berechnen wir mit Eges = 1 2 D s 0 2 , wobei D die Federhärte und s 0 die Amplitude der Schwingung ist. Also ergibt sich:

Eges = 1 2 30 N m 0,0001 m 2 = 0,0015 Nm = 0,0015 J

c) Die Geschwindigkeit beim Durchlaufen der Ruhelage berechnen wir mit dem Energieerhaltungssatz: Beim Durchlaufen der Ruhelage ist die Spannenergie vollständig in kinetische Energie übergegangen. Also ist die Geschwindigkeit beim Durchlaufen der Ruhelage die maximal mögliche Geschwindigkeit. Es gilt:

Ek = Espann 1 2 m v 2 = 1 2 D s 0 2

Hier ist m die insgesamt schwingende Masse von Käfer und Spinne. Also erhalten wir:

v = D s 0 2 m = 0,87 m s

Variante: Die Geschwindigkeit beim Durchlaufen der Ruhelage können wir auch durch alleinige Betrachtung der kinetischen Energie berechnen. Wir setzen die kinetische Energie des Käfers vor Auftreffen auf das Netz gleich der kinetischen Energie von Käfer und Spinne kurz nach dem Auftreffen, wenn das Netz noch entspannt ist. Dann gilt:

1 2 mkäfer v 0 2 = 1 2 ( mkäfer + mkäfer ) v 2

Daraus erhalten wir ebenfalls:

v = v 0 2 3 4 = 0,87 m s

d) Nach t = 7 s sind Käfer und Spinne 10 Periodendauern lang geschwungen. Also befinden sie sich zu dieser Zeit wieder am rechten Umkehrpunkt der Schwingung.

Anmerkung: Ohne die Annahme der Masselosigkeit des Netzes wäre außer der Energieerhaltung auch noch die Impulserhaltung nach Auftreffen des Käfers auf das Netz zu beachten.