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Begründung

In der vorletzten Aufgabe haben wir gesehen, dass die Schwingungsdauer für ein System der Art „Masse zwischen zwei Federn“ unabhängig vom Kippwinkel T = 2 π m D 1 + D 2 beträgt. Also hat das System aus der folgenden Abbildung die Schwingungsdauer T = 2 π m D 1 + D 2 .

Abb.1

Welche der beiden folgenden Anordnungen liefert nun die gleiche Schwingungsdauer?

Abb.2
Abb.3

Diese erhält man nur mit der ersten gezeigten Anordnung.Begründung:Zu ersten Abbildung:In der Ruhelage wirken nach oben zwei Federkräfte durch die beiden Federn und nach unten die Gewichtskraft G = m g . Da keine Bewegung stattfindet, gilt Fges = Ffeder + G = 0 . Wird die Masse nun um Δ s cm aus der Ruhelage ausgelenkt, so wird die Summe der Federkräfte auf die Masse größer:

Ffeder ´ = Ffeder ( D 1 + D 2 ) s

Die nun entstandene Differenz resultiert aus der Definition der Federkraft: Sie wirkt immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung und zur Auslenkung s . Die Kraft nach unten bleibt konstant G ´ = G . Dann ist:

Fges ´ = Ffeder ´ + G = Ffeder ( D 1 + D 2 ) s + G = - ( D 1 + D 2 ) s

Also ist die Gesamtfederhärte D die gleiche wie in der vorletzten Aufgabe und damit erhalten wir bei dieser Federkombination die gleiche Schwingungsdauer. Da also die Gewichtskraft G keinen Einfluss auf die resultierende Kraft hat, ergibt sich eine Gesamtfederhärte von D 1 + D 2 .

Zur zweiten Abbildung :Auch hier gilt in der Ruhelage wie oben Fges = Ffeder + G = 0 , wobei Ffeder die Federkraft und G die Gewichtskraft bezeichnen. Nun wird die Masse um s cm ausgelenkt, d.h. die dadurch bei Feder 1 entstehende Dehnung s 1 und die an Feder 2 s 2 sind festgelegt durch s = s 1 + s 2 . Außerdem wirkt auf beide Federn dieselbe Kraft ( die Gewichtskraft ), d.h. es gilt:

D 1 s 1 = - D 2 s 2

Mit diesen beiden Gleichungen lässt sich nun die Gesamtfederhärte bestimmen: Es gilt:

s 1 = s s 2 = s D 1 s 1 D 2

Umformen liefert:

s 1 D 2 = s D 2 D 1 s 1 s 1 ( D 1 + D 2 ) = s D 2 s 1 = s D 2 D 1 + D 2

Für die Gesamtkraft Fges ergibt sich damit:

Fges = - D s = D 1 s 1 = - D 1 D 2 s D 1 + D 2

Also ist die Gesamtfederhärte dieses Systems D = D 1 D 2 s D 1 + D 2 und daher erhalten wir hier nicht die gleiche Schwingungsdauer wie in der vorletzten Aufgabe.