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Lösung

Zuerst überlegen wir uns, ob es sich bei dieser Schwingung um eine harmonische Schwingung handelt. Denn dann wissen wir, dass wir die Periodendauer gemäß der Formel T = 2 π m D berechnen können, da die so schwingende Flüssigkeit mit der Schwingung eines Federpendels vergleichbar ist. Eine harmonische Schwingung liegt genau dann vor, wenn die rücktreibende Kraft direkt proportional zur Auslenkung ist. Die rücktreibende Kraft ist hier die Gewichtskraft der überstehenden Flüssigkeitssäule. Diese berechnet sich zu:

F g = m überstehend g = ρ V überstehend g = ρ 2 s A g

Wir sehen, dass die rücktreibende Kraft direkt proportional zur doppelten Auslenkung, also zu 2 s ist. Daher liegt eine harmonische Schwingung vor, deren Periodendauer wir mit T = 2 π m D berechnen können. Wir benötigen also zuerst die Größe D : Eine rücktreibende Kraft lässt sich immer schreiben als F = D s . Vergleichen wir dies mit unserer rücktreibenden Kraft, so sehen wir D = 2 ρ A g . Die Masse m , die wir für die Berechnung der Periodendauer noch benötigen, ist die Gesamtmasse der schwingenden Flüssigkeit, für die auch laut Hinweis gilt m ges = ρ V . Also erhalten wir als Periodendauer:

T = 2 π m g e s D = 2 π ρ V 2 ρ A g = 2 π V 2 A g

Da für die Länge l der Flüssigkeitssäule gilt V = l A , können wir kürzer schreiben: T = 2 π l 2 g . Wir sehen also, dass die Periodendauer der Schwingung nur von der Länge der eingefüllten Flüssigkeitssäule abhängt, aber nicht von der Dichte der Flüssigkeit und auch nicht vom Querschnitt .Dass die Periodendauer nicht vom Querschnitt A abhängt, können wir uns anschaulich klarmachen: Wir nehmen zwei Rohre mit Querschnittsfläche A und darin enthaltener Flüssigkeit der Masse m , die jeweils mit der Periodendauer T schwingen. Diese beiden Anordnungen lassen wir nun direkt nebeneinander in gleicher Weise schwingen. Bei zeitgleichem Start schwingen beide Systeme identisch. Machen wir aus diesen beiden Rohren eines, indem wir die aneinandergrenzenden Trennwände verschwinden lassen, so schwingt das System immer noch mit der gleichen Periodendauer weiter wie bisher, nun aber in verbundenem Zustand, denn es treten ja auch keine Kräfte zwischen den Systemen auf.Wir können uns ebenfalls anschaulich überlegen, weshalb die Schwingungsdauer auch nicht von der Dichte ρ abhängt: Nehmen wir an, wir verdoppeln die Dichte der Flüssigkeit. Dies können wir dadurch erreichen, dass wir die Querschnittsfläche des Rohres um die Hälfte verkleinern. Wir haben aber gesehen, dass die Periodendauer unabhängig von einer Querschnittsänderung ist, also ist sie daher auch unabhängig von einer Dichteänderung.