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Gekoppelte Schwingungen

Normalschwingungen

Für bestimmte Anfangsbedingungen ergeben sich besondere Schwingungen. Sind die Anfangsgeschwindigkeiten der beiden Massen null, so kann man durch geeignete Wahl der Anfangsauslenkungen zwei spezielle Schwingungen erzeugen.

Lenkt man beide Massen um die gleiche Länge x 0 in dieselbe Richtung aus, so schwingen die Massen anschließend in Phase. Man erhält als Lösung der Differenzialgleichungen:

q 1 = 2 x 0 cos ( ω 1 t ) q 2 = 0

Da q 1 den doppelten Mittelwert der beiden Einzelkoordinaten angibt, kann man daran ablesen, wie sich der Schwerpunkt der Massen bewegt, der hier ungedämpft harmonisch schwingt. An q 2 kann man den Relativabstand der beiden Massen ablesen, der hier konstant ist. Im Fall der gleichsinnigen Schwingung, wie man die Schwingung in Phase auch bezeichnet, ändert sich der Relativabstand nicht. Die Kopplungsfeder wird also nicht beansprucht. Man nennt daher diese Schwingung auch die erste Normalschwingung oder Eigenschwingung des Systems. Die einzelnen Massen bewegen sich gemäß:

x 1 = x 0 cos ( ω 1 t ) x 2 = x 0 cos ( ω 1 t )

Diese Schwingung erfolgt mit der Frequenz:

ω 1 = D m

Lenkt man nun die beiden Massen in entgegengesetzte Richtung aus, so schwingen sie gegensinnig oder gegenphasig. Nun bleibt der Schwerpunkt der beiden Massen immer am selben Ort, der Relativabstand variiert. Die Kopplung wird nun maximal beansprucht.

q 1 = 0 q 2 = 2 x 0 cos ( ω 2 t )

Diese gegensinnige Schwingung ist die zweite Normal- oder Eigenschwingung des Systems mit der Frequenz:

ω 2 = D + 2 D ' m > ω 1 = D m

Für die einzelnen Massen gilt:

x 1 = x 0 cos ( ω 2 t ) x 2 = x 0 cos ( ω 2 t )
Arbeitsauftrag

Versuchen Sie die verschiedenen Normalschwingungen des gekoppelten Pendels einzustellen!

Abb.1
JPAKMA-Projekt "gekoppelte Federpendel"

Jede Schwingung mit beliebigen Anfangsbedingungen lässt sich als Linearkombination der Normalschwingungen des gekoppelten Systems darstellen.

Normalschwingung/Eigenschwigung
Beim gekoppelten Pendel zweier Massen nennt man die symmetrische und die antisymmetrische Schwingung auch Normalschwingung oder Eigenschwingung.
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