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Gekoppelte Schwingungen

Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden

Betrachten wir eine Masse, die elastisch zwischen zwei Federn aufgehängt ist. Bislang haben wir diese Masse nur in eine ausgezeichnete Richtung, entlang unserer x-Achse, ausgelengt. In Wirklichkeit kann man sie aber in jede beliebige Richtung auslenken. Legen wir den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in die zu betrachtende Masse, so kann jede Auslenkung als Summe von Einzelauslenkungen in die schon betrachtete x-Richtung und zwei jeweils senkrecht dazu stehenden y- und z-Richtungen betrachtet werden.

Im Weiteren sollen Systeme von n gleichen Massen betrachtet werden. Diese sollen alle auf einer Geraden liegen und durch lauter gleiche Federn mit der Federkonstanten D gekoppelt sein.

Longitudinalschwingungen

Den bisher behandelten Fall der Schwingung in x-Richtung bezeichnet man als Longitudinalschwingung. Besteht eine Kette aus n Massen, so kann jede Masse in Longitudinalrichtung schwingen und wir erhalten n Eigenschwingungen in Longitudinalrichtung.

Der Fall einer Masse ist klar. Man erhält eine Eigenschwingung.

Abb.1

Die beiden gekoppelten Bewegungsgleichungen für zwei Massen lassen sich in einer Matrix zusammenfassen:

( x ¨ 1 x ¨ 2 ) = ( ( 2 D m ) ( D m ) ( D m ) ( 2 D m ) ) ( x 1 x 2 )

Für dieses Problem haben wir zwei Eigenschwingungen gefunden. Bei der symmetrischen werden beide Massen in dieselbe Richtung mit der Frequenz ω 1 ausgelenkt:

ω 1 = D m

Die gegensinnige oder antisymmetrische Schwingung erfolgt mit einer Frequenz ω 2 von:

ω 2 = 3 D m
Abb.2

Bei drei Massen erhalten wir drei gekoppelte Differenzialgleichungen.

( x ¨ 1 x ¨ 2 x ¨ 3 ) = ( ( 2 D m ) ( D m ) 0 ( D m ) ( 2 D m ) ( D m ) 0 ( D m ) ( 2 D m ) ) ( x 1 x 2 x 3 )

Alle drei Massen lassen sich in dieselbe Richtung auslenken, wobei die Auslenkung der mittleren um den Faktor 2 größer ist. Bei der zweiten Normalschwingung ist die mittlere Masse in Ruhe und die beiden äußeren schwingen antisymmetrisch. Schwingen die beiden äußeren Massen gleichsinnig und die mittlere dazu gegensinnig, wobei deren Auslenkung wieder um den Faktor 2 größer ist, so erhält man die dritte Normalschwingung.

Abb.3
Freiheitsgrade bei longitudinalen Eigenschwingungen
Ein System aus n linear gekoppelten Massen hat n longitudinale Eigenschwingungen.

Transversalschwingungen

Die Schwingungen in y- und z-Richtung bezeichnet man als Transversalschwingungen. Beide Richtungen sind bei einer linearen Kette gleichwertig. Deshalb kann jede Normalschwingung in beide Richtungen ausgeführt werden. Die zugehörigen Eigenfrequenzen sind gleich. Man bezeichnet deshalb eine solche Schwingung als entartet. Bei Transversalschwingungen werden die Federn nicht so sehr beansprucht wie bei Longitudinalschwingungen. Deshalb gilt:

ω ( t r ) < ω ( l )

Für eine Masse liegt die Auslenkung wieder auf der Hand.

Abb.4

Entsprechend den longitudinalen Schwingungen gibt es im Fall zweier Massen jeweils zwei symmetrische und zwei antisymmetrische transversale Eigenschwingungen.

Abb.5

Auch bei mehr als zwei Massen kann man zu jeder longitudinalen Eigenschwingung entsprechende transversale Eigenschwingungen finden, die paarweise entartet sind. Somit ergeben sich alle Eigenschwingungen eines linearen Drei-Massen-Systems zu:

Abb.6
Freiheitsgrade bei transversalen Eigenschwingungen
Ein System aus n linear gekoppelten Massen hat 2 n paarweise entartete transversale Eigenschwingungen. Die Eigenfrequenzen dieser Transversalschwingungen sind immer kleiner als die der entsprechenden Longitudinalschwingung.
ω ( t r ) < ω ( l )
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