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Gekoppelte Schwingungen

Energieerhaltung

Für die Energiebetrachtung gekoppelter Pendel ist der Spezialfall eines gekoppelten Pendels zweier gleicher Massen mit gleicher Amplitude interessant. Dies lässt sich z.B. dadurch realisieren, dass eine Masse in der Ruhelage festgehalten wird, während die andere ein Stück ausgelenkt wird.

Abb.1
JPAKMA-Projekt "Energieerhaltung beim gekoppelten Pendel"

Bei dieser Schwingung nimmt die Amplitude der ersten Masse immer mehr ab, während die der zweiten zunimmt. Wenn schließlich die zweite Schwingung die maximale Amplitude erreicht hat, setzt sich der Vorgang in umgekehrter Richtung fort. Immer wieder ist eine Masse kurzzeitig vollständig in Ruhe, die komplette Energie wechselt also zwischen den beiden Pendeln hin und her.

Da beide Massen keine Anfangsgeschwindigkeit haben, müssen auch die zeitlichen Ableitungen der Normalkoordinaten zum Zeitpunkt t = 0 verschwinden. Die Normalkoordinaten selbst reduzieren sich deshalb zu:

q 1 = x 0 cos ( ω 1 t ) q 2 = x 0 cos ( ω 2 t )

Da ω 1 < ω 2 ist, bewegt sich der Schwerpunkt, dessen Bewegung durch q 1 beschrieben wird, also langsamer zwischen den beiden Maximalwerten hin und her als sich der Abstand der beiden Massen verändert, der in q 2 eingeht.

Somit ergibt sich für die beiden Schwingungskoordinaten eine symmetrische und eine antisymmetrische Linearkombination der beiden Normalschwingungen.

x 1 = x 0 2 ( cos ( ω 1 ) t + cos ( ω 2 t ) ) = x 0 cos ( ω 1 + ω 2 2 t ) cos ( ω 1 ω 2 2 t ) x 2 = x 0 2 ( cos ( ω 1 ) t cos ( ω 2 t ) ) = x 0 cos ( ω 1 + ω 2 2 t ) sin ( ω 1 ω 2 2 t )

Eine Schwingung, bei der sich die Amplitude mit einer kleineren Frequenz als die Schwingung selbst harmonisch verändert, nennt man Schwebung. Die Amplitude ändert sich hier mit der Schwebungsfrequenz ω 1 ω 2 2 .

Die einzelnen Massen bewegen sich mit der konstanten Frequenz von ω 1 + ω 2 2 , die Amplituden und die Geschwindigkeiten ändern sich aber mit der Zeit. Deshalb wollen wir nun betrachten, wie sich die Energien der einzelnen Schwingungen verhalten.

Wir haben bereits gesehen, dass für die kinetische und potenzielle Energie einer Feder gilt:

E kin = 1 2 m x ˙ 2 E pot = 1 2 D x 2

Im Folgenden sind die Energien der beiden Massen sowie die Kopplungsenergie im zeitlichen Verlauf dargestellt.

Abb.2
JPAKMA-Projekt "Beobachtung der Energien beim gekoppelten Federpendel"

Man erkennt, dass die Energie der linken Schwingung langsam auf die rechte übertragen wird, bis schließlich wieder ein Energieübertag in die andere Richtung erfolgt. Betrachtet man allerdings die Gesamtenergie E ges , die sich aus kinetischer und potenzieller Energie der beiden Pendel und der Kopplungsenergie E kop zusammensetzt, so ist diese immer konstant.

Energieerhaltung beim gekoppelten Pendel
Die Summe aus den Energien der Einzelschwingungen und der Kopplungsenergie bleibt bei einer gekoppelten Schwingung konstant.
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