Vereinfachte Darstellung

Für die mathematische Behandlung des gekoppelten Pendels wollen wir ein ungedämpftes System annehmen. Die beiden Einzelpendel sollen gleich sein. Auf jedes ausgelenkte Pendel wirkt sowohl die rücktreibende Kraft aufgrund der Auslenkung des Pendels als auch eine rücktreibende Kraft durch die Kopplungsfeder. Analoge Kräfteverhältnisse ergeben sich bei einem System, das aus zwei gleichen Massen besteht, die jeweils durch eine Feder mit einer Wand und durch eine zusätzliche Feder miteinander verbunden sind. Die Auslenkung der beiden Massen $m_1(t)$ und $m_2(t)$ aus ihrer Ruhelage wollen wir mit $x_1(t)$ bzw. $x_2(t)$ bezeichnen, wobei eine Auslenkung nach rechts positiv gewertet werden soll.

Abb.2

Bewegungsgleichungen und Lösung

Die Bewegung eines Systems beschreibt man physikalisch durch dessen Bewegungsgleichung(en). Bewegt sich ein Teilchen der Masse $m$, so addiert man hierfür alle auf dieses Teilchen wirkenden Kräfte zur Gesamtkraft $F_{\text{ges}}$ auf, für die $F_{\text{ges}}=m\cdot \ddot{x}$ gilt. Da wir es in unserem Fall mit zwei Massen zu tun haben, müssen wir zur vollständigen Beschreibung auch zwei Gleichungen dieser Art aufstellen, wenn wir $m_1$ und $m_2$ aus der Ruhelage auslenken, die durch $x_1=0$ und $x_2=0$ beschrieben wird. Zunächst betrachten wir die Kräfte, die auf die linke Masse $m_1=m$ wirken. Die linke Feder mit der Federkonstanten $D$ bewirkt eine rücktreibende Kraft von $-D\cdot x_1$ auf die Masse $m_1$. Aber auch die mittlere Feder mit der Federkonstanten $D^{\text{'}}$ übt eine Kraft auf diese Masse aus. Sie ist abhängig von der Dehnung $x_2-x_1$ der Feder. Da diese Kraft in die entgegengesetzte Richtung der ersten wirkt, ergibt sie sich zu $D^{\text{'}}\cdot (x_2-x_1)$. Insgesamt erhält man also:

$$\begin{array}{ccc}m\cdot {\ddot{x}}_1=-D\cdot x_1+D^{\text{'}}\cdot (x_2-x_1)& \text{ ⇒ }& m\cdot {\ddot{x}}_1+D\cdot x_1-D^{\text{'}}\cdot (x_2-x_1)=0\end{array}$$

Für die rechte Masse $m_2=m$ erhält man in analoger Weise:

$$\begin{array}{ccc}m\cdot {\ddot{x}}_2=-D\cdot x_2-D^{\text{'}}\cdot (x_2-x_1)& \text{ ⇒ }& m\cdot {\ddot{x}}_2+D\cdot x_2+D^{\text{'}}\cdot (x_2-x_1)=0\end{array}$$

Diese Differenzialgleichungen sind nicht einzeln lösbar. Will man $x_1(t)$ aus der ersten Gleichung berechnen, so benötigt man dazu $x_2(t)$ und umgekehrt. Da also beide Gleichungen zur Lösungsfindung gebraucht werden, spricht man von gekoppelten Differenzialgleichungen. Um diese zu lösen, addiert und subtrahiert man die beiden Gleichungen und erhält:

$$\begin{array}{r}m\cdot ({\ddot{x}}_1+{\ddot{x}}_2)+D\cdot (x_1+x_2)=0\\ m\cdot ({\ddot{x}}_1-{\ddot{x}}_2)+(D+2D^{\text{'}})\cdot (x_1-x_2)=0\end{array}$$

Durch Substitution der Variablen $q_1=x_1+x_2$ und $q_2=x_1-x_2$ erhält man die entkoppelten Differentialgleichungen:

$$\begin{array}{r}m\cdot {\ddot{q}}_1+D\cdot q_1=0\\ m\cdot {\ddot{q}}_2+(D+2D^{\text{'}})\cdot q_2=0\end{array}$$

Man überprüfe durch Einsetzen, dass diese Differenzialgleichungen durch folgende Zusammenhänge gelöst werden:

$$\begin{array}{llll}{q}_1=A_1\cdot cos({\omega }_1\cdot t)+A_2\cdot sin({\omega }_1\cdot t)& & \text{mit}& {\omega }_1=\sqrt{\frac{D}{m}}\\ q_2=B_1\cdot cos({\omega }_2\cdot t)+B_2\cdot sin({\omega }_2\cdot t)& & \text{mit}& {\omega }_2=\sqrt{\frac{D+2D^{\text{'}}}{m}}\end{array}$$

Einfacher erhält man die Lösung, wenn man sich an die entsprechende Fragestellung beim harmonischen Schwinger erinnert. Dort hatten wir am Beispiel des Federpendels eine analoge Differenzialgleichung gelöst.

Für die ursprünglichen Variablen erhält man durch Umformen der Substitutionsgleichungen:

$$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{q_1+q_2}{2}\\ x_2=\frac{q_1-q_2}{2}\end{array}$$

Die Amplituden $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ werden durch die Anfangsbedingungen $x_1$, ${\dot{x}}_1$, $x_2$ und ${\dot{x}}_2$ der Massen bestimmt.