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Lösung

In der gekoppelten Schwingung aus Aufgabe 1 im Aufgabenteil 1 zu gekoppelten Schwingungen gibt es zwei Normalschwingungen: Die erste entsteht durch Auslenken beider Massen um eine Strecke x 0 und stellt sich dann als gleichphasige Schwingung mit der Frequenz ω 1 dar.

ω 1 = D m

Die Ort-Zeit-Funktionen beider Massen sind gleich:

x 1 = x 0 cos ( ω 1 t ) = x 2

Die zweite Normalschwingung entsteht nach entgegengesetzter Auslenkung der beiden Massen um eine Strecke x 0 beziehungsweise x 0 ; in diesem Fall schwingen die Massen gegenphasig mit der Frequenz ω 2 :

ω 2 = D + 2 D ´ m

Die Bewegung der Massen lässt sich durch folgende Gleichungen beschreiben:

x 1 = x 0 cos ( ω 2 t ) = x 2

Berechnen wir zuerst die Gesamtenergie der ersten Normalschwingung. Es gilt:

x 1 = x 0 cos ( ω 1 t ) = x 2 d d t x 1 = x 0 ω 1 sin ( ω 1 t ) = d d t x 2

Die Gesamtenergie einer Schwingung setzt sich aus den potentiellen Energien der einzelnen Massen, den kinetischen Energien der Massen sowie einem Kopplungsterm zusammen:

E ges = E pot1 + E pot2 + E kin1 + E kin2 + E kopp = 1 2 D x 1 2 + 1 2 D x 2 2 + 1 2 m ( d d t x 1 ) 2 + 1 2 m ( d d t x 2 ) 2 + 1 2 D ´ ( x 2 - x 1 ) 2

Nach Einsetzen und Kürzen unter Verwendung von ω 1 = D m erhält man:

E g e s = x 0 2 D

Wir sehen also, dass die Gesamtenergie konstant und unabhängig ist von den schwingenden Massen und der Federhärte D ´ . Außerdem können wir in der Gesamtenergie keinen kinetischen Anteil mehr erkennen. Warum? Bei dieser Normalschwingung gilt die Energieerhaltung, d.h. die Energie ist zu allen Zeitpunkten der Schwingung gleich groß und bleibt erhalten. Also ist die Gesamtenergie schon gegeben durch Betrachtung des Startpunkts der Schwingung: In diesem ist die Lageenergie wie beim harmonischen Schwinger E pot = 2 1 2 x 0 2 D = x 0 2 D , da ja beide Massen um die Strecke x 0 ausgelenkt werden. Für die zweite Normalschwingung berechnet man analog unter Verwendung von ω 2 = D + 2 D ´ m :

E ges = x 0 2 ( D + 2 D ´ ) .

Auch hier ist die Gesamtenergie konstant, unabhängig von der Masse des schwingenden Systems und unabhängig von einem geschwindigkeitsabhängigen Term wie oben.