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Gedämpfte harmonische Schwingungen

Stokes'sche Dämpfung

Wir wollen nun den Bewegungsablauf einer gedämpften Schwingung am Beispiel einer Kugel in Öl untersuchen. Als Dämpfung wirkt dabei die Stokes'sche Reibungskraft durch die Zähigkeit η der Flüssigkeit mit einer Reibungskraft FSt = 6 π η r υ (Laminare Reibung).

Arbeitsauftrag

  • Untersuchen Sie das Schwingverhalten des Systems für die Dämpfungswerte η= 0,1 N s m-1 0,3 N s m-1 0,5 N s m-1 0,8 N s m-1 1,0 N s m-1 1,3 N s m-1 1,5 N s m-1 .
  • Hängt die Schwingungsdauer von der Anfangsauslenkung ab, wenn alle anderen Einstellungen gleich sind?
  • Ab welcher Viskositätseinstellung durchquert der Schwinger nicht mehr die Null-Lage?
Abb.1
JPAKMA-Projekt "Gedämpfte Schwingung"

Bei den unterschiedlichen Einstellungen für die Dämpfung konnte man erkennen, dass es offenbar drei verschiedene Typen an Ort-Zeit-Graphen gibt: Für kleine η ergibt sich eine gedämpfte Schwingung um die Ruhelage; für sehr große η tritt ein langsames Annähern an die Null-Lage auf, die dabei nie unterschritten wird; dazwischen gibt es einen Grenzfall, bei dem die Null-Lage relativ schnell angenommen wird und von der aus der Körper aber nicht mehr darüber hinaus weiter schwingt. Im Folgenden soll nun mathematisch das Zustandekommen dieser Lösungen untersucht werden.

Da sich hier wie bei der harmonischen Schwingung die Masse nicht ändert, vereinfacht sich das zweite Newton'sche Gesetz zu:

m a = Fges

Für die Beschleunigung a setzen wir wieder:

a = s ¨

Die Gesamtkraft Fges ergibt sich aus der Hooke'schen Rückstellkraft FD = D s und der Stokes'schen Dämpfungskraft FSt = 6 π η r s ˙ zu:

m s ¨ = FD + FSt

Wir setzen die Formeln für die Rückstell- und Dämpfungskraft ein und formen um:

m s ¨ = D s 6 π η r s ˙ m s ¨ + 6 π η r s ˙ + D s = 0

Wir teilen die Gleichung durch m:

s ¨ + 6 π η r m s ˙ + ω 0 2 s = 0

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω 0 = D m 1 der ungedämpften Schwingung und der Substitution K = 6 π η r m 1 kann man die Gleichung umformen:

s ¨ + K s ˙ + ω 0 2 s = 0

Zur Lösung der Gleichung verweisen wir wieder auf die entsprechenden Ansätze für Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differenzialgleichungen und geben hier nur die Lösung mittels trigonometrischer Funktionen an:

s t = A e δ t cos ω t + δ ω sin ω t

Dabei wurden folgende Abkürzungen eingeführt:

Logarithmisches Dekrement: δ = K 2 m = 6 π η r 2 m 2 Winkelgeschwindigkeit der gedämpften Schwingung: ω = ω 0 2 δ 2

Verwendet man ein Additionstheorem des Kosinus, so kann man noch weiter zusammenfassen:

s t = A ω 0 ω e δ t cos ω t ϕ mit tan ϕ = δ ω

Je nach Vorzeichen des Terms ω 0 2 δ 2 unter der Wurzel können drei verschiedene Lösungstypen auftreten. Ist der Term positiv, so erhalten wir den Schwingfall (Abb. 2) . Ist der Term gleich null, so tritt der sogenannte aperiodische Grenzfall auf (Abb. 3) . Bei einem negativen Term erhält man keine reelle Lösung der Wurzel und man spricht vom Kriechfall (Abb. 4) .

Abb.2
Schwingfall
Abb.3
Aperiodischer Grenzfall
Abb.4
Kriechfall

Wir wollen im Weiteren die drei Lösungstypen der Gleichung diskutieren.

Der Schwingfall für δ < ω 0 (Gedämpfte Schwingung)

Durch die Dämpfung verringert sich die Schwingungsfrequenz gegenüber der Frequenz der ungedämpften Schwingung gemäß dem folgenden Zusammenhang:

ω = ω 0 2 δ 2

Dieser Ausdruck ist reell. Das System schwingt, aber mit zeitlich abnehmender Amplitude.

Für kleine Dämpfungen δ ω 0 geht der Sinusterm der Lösungsfunktion gegen null und ω ω 0 .

s t = A e δ t cos ω 0 t

Aperiodischer Grenzfall für δ = ω 0

Ist die Dämpfung δ gerade so groß wie ω 0 , so schwingt das System nicht mehr, man spricht vom aperiodischen Grenzfall. Die gewonnene Weg-Zeit-Funktion ist für diesen Fall undefiniert. Wir erhalten jedoch durch einen Grenzübergang für ω 0 :

cos ω t 1 δ ω sin ω t δ ω ω t = δ t

Diese Ergebnisse in die allgemeine Lösung eingesetzt, ergibt:

s t = A e δ t 1 + δ t

Kriechfall für δ > ω 0

Ist schließlich δ größer als ω 0 , so wird der gewonnene Ausdruck für ω imaginär.

ω = ω 0 2 δ 2 = i δ 2 ω 0 2 = i ω '

Für imaginäre Argumente gehen die Kreisfunktionen in ihre entsprechenden hyperbolischen Funktionen über. Die allgemeine Lösung kann dann folgendermaßen umgeformt werden:

s t = A e δ t cosh ω ' t + δ ω ' sinh ω ' t

Auch hier wollen wir den Extremfall für eine besonders große Dämpfung betrachten. In diesem Fall lässt sich die Auslenkung nach einigen Näherungen wie folgt approximieren:

s t = A e t δ ω '
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