Zusammenfassung - Erzwungene Schwingungen

Schwingende Systeme können schwingungsfähige Systeme durch Kontakt in Bewegung bringen. Nach einer gewissen Einschwingzeit kommt das System in die so genannte stationäre Phase.

• Die stationäre Phase eines Pendels der Federkonstanten $D$ und der Dämpfung $k$, das mit der Kraft $F_{0}cos(\omega \cdot t)$ zu Schwingungen angeregt wird, lässt sich durch folgende Bewegungsgleichung beschreiben:$$m\cdot \ddot{x}+k\cdot \dot{x}+D\cdot x=F_{0}cos(\omega \cdot t)$$Dabei gilt:$$\begin{array}{ccccc}{\omega }_0=\sqrt{\frac{D}{m}}& & \gamma =\frac{k}{2m}& & K=\frac{F_0}{m}\end{array}$$
• Als Lösung erhält man:$$x=A\cdot cos(\omega \cdot t+\varphi )$$Für die Amplitude $A\left(\omega \right)$ und die Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen Erreger und erregter Schwingung gilt:$$\begin{array}{ccc}A(\omega )=\frac{K}{\sqrt{{\left({\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}-{\omega }^2\right)}^2+{\left(2\cdot \omega \cdot \gamma \right)}^2}}& & tan(\varphi )=-\frac{2\cdot \omega \cdot \gamma }{{\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}-{\omega }^2}\end{array}$$
• In der Nähe der Eigenfrequenz ergibt sich ein Maximum der Amplitude. Ist das System nicht genügend gedämpft, so kommt es schließlich zur Resonanzkatastrophe, bei der die Amplitude stetig zunimmt.
• In den Resonanzkurven erkennt man die Abhängigkeit der Amplitude für verschiedene Dämpfungen.

• Die Phasenverschiebung ist vom Verhältnis der Erreger- zur Eigenfrequenz und der Dämpfung abhängig.