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Erzwungene Schwingungen

Abhängigkeit der Phasenverschiebung von der Erregerfrequenz

Im Folgenden untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Phasenverschiebung der Bewegung des Erregers und der Bewegung des Schwingkörpers für unser Beispiel der erzwungenen Schwingung eines Federpendels.

Arbeitsauftrag

Prüfen Sie die Abhängigkeit der Phasenverschiebung von der Erregerfrequenz.

Abb.1
JPAKMA-Projekt "Phasenverschiebung bei Resonanz"

Betrachtet man die Bewegungsgleichung, so kann man für verschiedene Erregerfrequenzen darin unterschiedliche Terme vernachlässigen.

m x ¨ + k x ˙ + D x = F 0 cos ( ω t )

Die Summation des Produktes aus Masse und Beschleunigung, des Reibungstermes und des Rückstelltermes ist gleich der äußeren Kraft.

Der Ansatz x = A cos ( ω t + ϕ ) hat sich bewährt und ergibt für die Geschwindigkeit:

d x d t = ω A sin ( ω t + ϕ )

Für die Beschleunigung ergibt sich:

d 2 x d t 2 = ω 2 A cos ( ω t + ϕ )

Sehr kleine Erregerfrequenzen

Für kleine ω kann man das Produkt aus Masse und Beschleunigung und den Reibungsterm vernachlässigen, weil die Geschwindigkeit und die Beschleunigung sehr klein sind. Man erhält also:

D x = F 0 cos ( ω t ) x = F 0 D cos ( ω t )

Das Pendel bewegt sich in dieser Näherung also gleichphasig mit der Erregerfrequenz, als wäre es starr mit dem Erreger verbunden.

Nach dem Einschwingvorgang bleibt die Energie des Pendels im Mittel konstant. Die äußere Kraft führt dem Schwinger Energie zu, wenn er sich in Richtung der anregenden Kraft bewegt, also wenn die Phase der angeregten Kosinusschwingung zwischen π 2 und π oder zwischen 3 2 π und 2 π beträgt. Wirkt die Kraft entgegen der Bewegungsrichtung, also von 0 bis π 2 und von π bis 3 2 π , gibt das System die gleiche Energie wieder ab.

Resonanz

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung haben wir bstimmt zu:

A ( ω ) = K ( ω 0 2 ω 2 ) 2 + ( 2 ω γ ) 2

Sie wird maximal, wenn der Nenner ein Minimum hat, also für:

ω R = ω 0 2 2 γ 2

Diese so genannte Resonanzfrequenz liegt also ungefähr bei der Eigenfrequenz des schwingenden Systems. Hier ist die Leistungsaufnahme maximal und die Amplitude vergrößert sich. Je kleiner die Reibung ist, umso näher liegt die Resonanzfrequenz bei der Eigenfrequenz des Systems und es kommt durch ständige Leistungsaufnahme zur Resonanzkatastrophe. Bekannte Beispiele solcher Katastrophen sind z.B. die Tacoma-Brücke, die durch ungünstige Windverhältnisse zum Schwingen angeregt wurde und schließlich am -7.11.1940 eingestürzt ist, oder ein Weinglas, das durch Schall zum Zerspringen gebracht werden kann.

Abb.2
Hängebrücke
Abb.3
Glas

Unter normalen Umständen wird aber eine Resonanzkatastrophe durch die Dämpfung verhindert. Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der aufgenommenen Leistung der äußeren Kraft F v = F 0 ω A cos 2 ( ω t ) und der Verlustleistung durch die Reibungskraft k ω 2 A 2 cos 2 ( ω t ) ein. Die Amplitude ist in diesem Fall also:

A = F 0 k ω

Die Phasenverschiebung im Resonanzfall ist wegen ω ω 0 gleich π 2 , das Pendel hinkt also dem Erreger hinterher.

Große Erregerfrequenz

Da die Erregerfrequenz in die Beschleunigung quadratisch eingeht, überwiegt der erste Term für große ω . Wenn man also die beiden anderen Terme vernachlässigt, so erhält man:

m x ¨ = F 0 cos ( ω t )    ⇒    x = F 0 m ω 2 cos ( ω t )

Da die Erregerfrequenz quadratisch im Nenner der Amplitude steht, bewegt sich das System quasi frei mit einer Amplitude, die umgekehrt proportional zu ω 2 ist. Am Vorzeichen erkennt man, dass die erzwungene Schwingung gegenphasig zur erregenden Kraft erfolgt.

Die Energie bleibt im Mittel wieder konstant. Liegt die Phase zwischen π 2 und π oder zwischen 3 2 π und 2 π , wirkt die Kraft entgegen der Bewegungsrichtung, das System gibt also Energie ab. Die äußere Kraft führt dem Schwinger dieselbe Leistung zu, wenn er sich in ihre Richtung bewegt, also von 0 bis π 2 und von π bis 3 2 π .

Abhängigkeit der erzwungenen Schwingung von der Erregerfrequenz
Ist die Erregerfrequenz viel kleiner als die Eigenfrequenz des Systems, so bewegt sich das Pendel gleichphasig mit der Erregerfrequenz, als wäre es starr mit dem Erreger verbunden.
In der Nähe der Eigenfrequenz kann der Erreger dem System immer mehr Leistung zuführen. Die Amplitude wird maximal und die Phasenverschiebung beträgt π 2 . Wird durch die Dämpfung nicht mehr genug Leistung abgegeben, so steigt die Amplitude immer weiter an und es kommt zur Resonanzkatastrophe.
Für sehr große Erregerfrequenzen bewegt sich das System quasifrei mit kleiner Amplitude. Die Phasenverschiebung beträgt π
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