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Erzwungene Schwingungen

Einschwingvorgang und stationäre Phase für die erzwungene Schwingung beim Federpendel

Einschwingvorgang

Betrachtet man den Verlauf der Federschwingung, so stellt man fest, dass zu Beginn der Anregung das Federpendel seine Frequenz und seine Amplitude mehrfach ändert. Diese Phase nennt man den Einschwingvorgang.

Arbeitsauftrag

Untersuchen Sie, wie die Dauer des Einschwingvorgangs von verschiedenen Erregerfrequenzen und Dämpfungen abhängt!

Abb.1
JPAKMA-Projekt "Einschwingvorgang"

Je größer die Dämpfung ist, umso kürzer ist der Einschwingvorgang.

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Man erkennt also, dass es wichtig ist, bei Messungen an einem schwingenden System immer zuerst den Einschwingvorgang abzuwarten, wenn man sich für das Endverhalten interessiert.

Die stationäre Phase

Nach einer gewissen Zeit hat sich das Pendel auf die erregende Kraft eingestellt und schwingt gleichmäßig. Dies nennt man stationäre Phase. Das Pendel schwingt mit der Frequenz des Erregers, ist aber je nach Eigenfrequenz und Dämpfung zum Erreger phasenverschoben. Deshalb machen wir für die stationäre Phase folgenden Ansatz:

x = A cos ( ω t + ϕ )

Um die Parameter A und ϕ zu bestimmen, setzen wir diesen Ansatz in die Bewegungsgleichung ein und erhalten:

( ω 0 2 ω 2 ) A cos ( ω t + ϕ ) 2 ω γ A sin ( ω t + ϕ ) = K cos ( ω t )

Mithilfe der Additionstheoreme lassen sich die Argumente im Sinus und Kosinus auseinander ziehen und man erhält:1)

[ ( ω 0 2 ω 2 ) A cos ( ϕ ) 2 ω γ A sin ( ϕ ) K ] cos ( ω t ) [ ( ω 0 2 ω 2 ) A sin ( ϕ ) + 2 ω γ A cos ( ϕ ) ] sin ( ω t ) = 0

Weil diese Gleichung für beliebige Zeiten gilt, müssen die beiden Faktoren vor cos ( ω t ) und sin ( ω t ) null sein. Aus dem ersten Faktor erhält man für die Phasenverschiebung:

tan ( ϕ ) = 2 ω γ ω 0 2 ω 2

Die Phasenverschiebung ist also abhängig von der Dämpfung und der Erregerfrequenz. Mit dieser Phasenverschiebung und dem Faktor vor sin ( ω t ) lässt sich die Amplitude der erzwungenen Schwingung berechnen:

A ( ω ) = K ( ω 0 2 ω 2 ) 2 + ( 2 ω γ ) 2

Also ist auch die Amplitude abhängig von der Dämpfung und der Erregerfrequenz.

Arbeitsauftrag

Kontrollieren Sie die Erkenntnisse anhand des folgenden Projekts!

Abb.2
JPAKMA-Projekt "Resonanzverhalten"

Erzwungene Schwingung beim Federpendel
Wird ein schwingungsfähiges System der Eigenfrequenz ω 0 und einer Dämpfung k durch eine periodische Kraft F 0 cos ( ω t ) angeregt, so beschreibt man dies durch folgende Differenzialgleichung:
m x ¨ + k x ˙ + D x = F 0 cos ( ω t )
Dabei gelten folgende Zusammenhänge:
ω 0 = D m ; γ = k 2 m ; K = F 0 m
Nach dem Einschwingvorgang schwingt das System in der stationären Phase mit der Erregerfrequenz ω :
x = A cos ( ω t + ϕ )
Die Amplitude A ( ω ) und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Erreger und Schwingung ergeben sich zu:
A ( ω ) = K ( ω 0 2 ω 2 ) 2 + ( 2 ω γ ) 2       ϕ = arctan ( 2 ω γ ω 0 2 ω 2 )
Beide Größen sind also von der Erregerfrequenz und der Dämpfung abhängig.
1)Die Formel musste aus Platzgründen auf zwei Zeilen verteilt werden. Das Minus am Ende der ersten Zeile wird am Anfang der zweiten Zeile wiederholt.
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