Ort und Ortsänderung

Wie war das noch mal mit den Vektoren?

Ein Vektor ist eine Größe, die einen Betrag und eine Richtung hat. Um ihn in seiner Bezeichnung von einem Skalar, einer Größe ohne Richtung, unterscheiden zu können, wird dieser mit einem Pfeil versehen $\vec{r}$ oder fett geschrieben $r$

Vektoren werden in einer graphischen Darstellung oft als Pfeile eingezeichnet, wobei die Länge des Pfeiles durch den Betrag des Vektors bestimmt wird. Es ist entscheidend, welche Länge er hat und in welche Richtung der Pfeil zeigt, allerdings nicht, an welchem Punkt er beginnt. Man spricht deshalb auch von einem Pfeil als einem Repräsentanten eines Vektors.

Um einen Vektor mathematisch zu beschreiben, verwendet man die Komponentenschreibweise. Jeder Komponente wird eine Richtung im Raum zugeordnet, z.B. x-, y- und z-Richtung bei einem 3-dimensionalen Vektor. Hierbei stehen die verschiedenen Komponenten senkrecht aufeinander.

\vec{r} = {\begin{matrix} r_{x} \\ r_{y} \\ r_{z} \end{matrix}}

Abb.1

Für beliebige Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gelten die folgenden Rechenregeln:

Vektoraddition

Um zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zu addieren, setzt man den Anfang von Pfeil $\vec{b}$ an die Spitze von Pfeil $\vec{a}$ . Der Verbindungsvektor vom Anfang von Pfeil $\vec{a}$ zur Spitze von Pfeil $\vec{b}$ ergibt den Summenvektor $\vec{a} + \vec{b}$ . Beim Berechnen werden also die Vektoren komponentenweise addiert.

\vec{a} + \vec{b} = {\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}} + {\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}} = {\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix}}

Abb.2

Der Vektor $- \vec{a}$ entspricht dem Vektor $\vec{a}$ mit umgekehrter Richtung. Hängt man diese beiden aneinander, addiert sie also, so erhält man den Nullvektor.

Vektorsubtraktion

Möchte man den Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ subtrahieren, so erhält man dies, indem man die Richtung des Vektors $\vec{b}$ umkehrt und den dadurch erhaltenen Vektor $- \vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ addiert. Dazu setzt man den Anfang von Pfeil $- \vec{b}$ an die Spitze von Pfeil $\vec{a}$ und verbindet den Anfang von Pfeil $\vec{a}$ mit der Spitze von Pfeil $- \vec{b}$ . Rechnerisch ergibt sich:

\vec{a} + (- \vec{b}) = {\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}} + {\begin{matrix} - b_{x} \\ - b_{y} \\ - b_{z} \end{matrix}} = {\begin{matrix} a_{x} - b_{x} \\ a_{y} - b_{y} \\ a_{z} - b_{z} \end{matrix}}

Abb.3

Vektormultiplikation und -division

Multiplikation und Division eines Vektors $\vec{a}$ mit einem Skalar $s$ (bei Division $s \neq 0$ ) erfolgt ebenfalls komponentenweise. Dadurch wird die Länge des Vektors verändert. Bei positivem $s$ bleibt die Richtung erhalten, bei negativem kehrt sie sich um.

s \cdot \vec{a} = s . {\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}} = {\begin{matrix} s \cdot a_{x} \\ s \cdot a_{y} \\ s \cdot a_{z} \end{matrix}}

bzw. für $s \neq 0$ :

\frac{\vec{a}}{s} = \frac{1}{s} \cdot {\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}} = {\begin{matrix} \frac{a_{x}}{s} \\ \frac{a_{y}}{s} \\ \frac{a_{z}}{s} \end{matrix}}

Abb.4

Vektorprodukt

Manche vektorielle physikalische Größen lassen sich aus anderen berechnen, wobei die resultierende Größe senkrecht auf den beiden anderen steht und ihr Betrag vom Winkel zwischen den beiden abhängig ist. Der Betrag wird maximal, wenn sie senkrecht aufeinander stehen und umso kleiner, je kleiner der Winkel zwischen ihnen wird. Ein solcher Sachverhalt lässt sich mit Hilfe des Vektor- oder auch Kreuzproduktes beschreiben. Das Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht also senkrecht auf diesen beiden Vektoren. Die Richtung ergibt sich mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel. Zeigt der Daumen der rechten Hand in die Richtung des Vektors $\vec{a}$ , der ausgestreckte Zeigefinger in die Richtung des Vektors $\vec{b}$ , so zeigt der abgespreizte Mittelfinger - der nun senkrecht auf dem Daumen und dem Zeigefinger steht - in die Richtung des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ dieser beiden Vektoren. Die Länge gibt den Flächeninhalt des Parallelogramms an, das durch die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird.