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Geschwindigkeit

Wer ist schneller? - Definition des Geschwindigkeitsvektors

Wird im gleichen Zeitintervall bei der einen Bewegung eine längere Strecke zurückgelegt als bei einer anderen, so sagt man, der erste Körper habe sich schneller bewegt. Vergleicht man hingegen einen bewegten Körper mit einem anderen, der in der doppelten Zeit die doppelte Strecke des anderen zurücklegt, so sagt man, dass beide Gegenstände sich gleich schnell bewegen. Die Ortsänderungsvektoren allein sagen also noch nicht genug über die Bewegung aus. Vielmehr spielt es eine Rolle, auf welches Zeitintervall man die Ortsänderungsvektoren bezieht. Um verschiedene Bewegungen vergleichen zu können, ist es nötig, die Ortsänderungsvektoren immer auf gleiche Zeitintervalle zu beziehen.

Für verschieden lange Zeitintervalle ergeben sich unterschiedliche Ortsänderungsvektoren. Nach Drücken der blauen Pfeiltaste lässt sich die Größe der Zeitschritte mit dem Schieber einstellen. Wird nun der Startknopf gedrückt, so werden die entsprechenden Ortsänderungsvektoren blau eingezeichnet.

Abb.1
JPAKMA-Projekt "Volleyball 8"

Man könnte also die Bewegung durch einen Ortsänderungsvektor und das zugehörige Zeitintervall beschreiben. Um nicht immer von bestimmten Zeitintervallen sprechen zu müssen, ist es zweckmäßig, die Zeit in die Definition der Geschwindigkeit miteinzubeziehen. Man könnte sagen, man normiert die Ortsänderungsvektoren auf das Standardzeitintervall von einer Sekunde. Genauer erhält man die Geschwindigkeit, indem man den Ortsänderungsvektor durch das zugehörige Zeitintervall dividiert. War das ursprüngliche Zeitintervall größer als eine Sekunde, so hat der Geschwindigkeitsvektor die Richtung und Länge, die der Ortsänderungsvektor im Falle einer gleichförmigen Bewegung bei einem Zeitintervall von einer Sekunde hätte. Die beiden Vektoren unterscheiden sich somit nur in ihrer Einheit. Der Ortsänderungsvektor hat die Einheit einer Länge, also z.B. m, der Geschwindigkeitsvektor hat z.B. die Einheit  ms-1 . Bei einem ursprünglich kleineren Zeitintervall wird der Geschwindigkeitsvektor entsprechend größer als der ursprüngliche Ortsänderungsvektor sein. Der Geschwindigkeitsvektor gibt an, wie weit der Körper kommen würde, wenn er sich insgesamt eine Sekunde gleichförmig weiter bewegen würde.

Beachtet man also zusätzlich zum Anfangs- und Endpunkt einer Bewegung die Zeit, die dafür benötigt wurde, so wird durch

v ¯ = r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = Δ r Δ t

die mittlere Geschwindigkeit angegeben, die auch Durchschnittsgeschwindigkeit genannt wird. Im Zeitintervall  Δ t = t 2 t 1 muss dabei die Geschwindigkeit nicht immer dieselbe Richtung und denselben Betrag haben. Es handelt sich nur um die durchschnittliche Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall. Die mittlere Geschwindigkeit ist - wie der Ortsänderungsvektor auch - eine vektorielle Größe und zeigt in dieselbe Richtung wie der zugehörige Ortsänderungsvektor Δ r .

Abb.2

Um zur Momentangeschwindigkeit  v zu gelangen, muss das betrachtete Zeitintervall möglichst klein sein, damit die Möglichkeit einer Geschwindigkeitsänderung klein ist. Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit, wenn das Zeitintervall gegen Null geht. Das heißt, der Vektor der Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung des Ortsänderungsvektors nach der Zeit.

v = lim t 2 t 1 r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = d r d t

Die Richtung der Momentangeschwindigkeit ist immer tangential zur Bahnkurve, der Geschwindigkeitsvektor zeigt also zu jedem Zeitpunkt in die Richtung der Bewegung des Körpers. Wenn im Weiteren von der Geschwindigkeit gesprochen wird, ist immer der Vektor der Momentangeschwindigkeit gemeint. Bei physikalischen Messungen wird die mittlere Geschwindigkeit in einem sehr kleinen Zeitintervall gemessen, so dass näherungsweise von der Momentangeschwindigkeit, die eigentlich nicht messbar ist, gesprochen werden kann.

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist Meter durch Sekunde, abgekürzt durch  ms-1 .

Sonderfälle:

Bei der geradlinigen Bewegung ist die Richtung der Geschwindigkeit konstant, der Betrag kann sich aber ändern (z.B.: freier Fall, siehe Tischtennisball). Im Gegensatz dazu ist bei der gleichförmigen Bewegung der Betrag konstant, die Richtung aber nicht (z.B.: Kreisbewegung). Bei der gleichförmig geradlinigen Bewegung schließlich sind beide Eigenschaften der vektoriellen Größe, also Betrag und Richtung, konstant (z.B.: rollende Kugel auf Tisch).

Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Man erhält die mittlere Geschwindigkeit, indem man den Ortsänderungsvektor durch das zugehörige Zeitintervall dividiert.
v ¯ = r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = Δ r Δ t
Um zur Momentangeschwindigkeit zu gelangen, muss man das Zeitintervall gegen Null gehen lassen.
v = lim t 2 t 1 r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = d r d t
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