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Geschwindigkeit

Geradlinige Bewegung mit nicht konstanter Geschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit, so muss dies beim Integrieren berücksichtigt werden. Es gilt:

v ( t ) konstant x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t ' + x ( t 0 )

Beim Beispiel des fallenden Tischtennisballs bleibt die Geschwindigkeit des Balls nicht konstant. Analog zur gleichförmigen Bewegung lassen sich aber die Graphen x(t) und v(t) zeichnen.

Bei diesem Beispiel ergibt sich für den Geschwindigkeits-Zeit-Graphen eine Gerade durch den Ursprung. Also gilt mit einer Konstanten a:

v ( t ) = a t

Da der Weg wieder durch die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen beschrieben wird, ergibt sich:

x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t ' + x ( t 0 ) = t 0 t a t ' d t ' + x ( t 0 ) = 1 2 a ( t 2 t 0 2 ) + x ( t 0 )

Damit wäre auch der parabelförmige Verlauf des x(t)-Graphen erklärt.

Beginnt die Bewegung zum Zeitpunkt t0=0, so vereinfacht sich der Weg zu:

x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t ' + x ( 0 ) = t 0 t a t ' d t ' + x ( 0 ) = 1 2 a t 2 + x ( 0 )

Lässt man zusätzlich die Bewegung am Ort x(0)=0 beginnen, erhält man den Spezialfall:

x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t ' = t 0 t a t ' d t ' = 1 2 a t 2

Beim hier betrachteten Beispiel nimmt die Geschwindigkeit linear zu. Dies wird später in der Dynamik auf die Erdanziehung zurückgeführt werden. Man nennt diesen Spezialfall deshalb auch den freien Fall.

Im Allgemeinen nimmt die Geschwindigkeit nicht linear zu, die hier zur Beschreibung eingeführte Konstante a, die wir noch als Beschleunigung kennen lernen werden, muss also im Allgemeinen keine Konstante sein.

Hinweis
Beim freien Fall nimmt - wenn man die Luftreibung vernachlässigt - die Geschwindigkeit linear zu:
v ( t ) = a t
Wenn man den Startpunkt der Bewegung zum Zeitpunkt t0=0 wählt, ergibt sich der zurückgelegte Weg zu:
x ( t ) = 1 2 a t 2 + x ( 0 )
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