Verfolgungsrennen - Überholvorgang

Bei einem Verfolgungsrennen fahren zwei Radfahrer auf einer ovalen Rennbahn. Sie starten an gegenüberliegenden Bahnpunkten. Sieger ist der Fahrer, der die Distanz von $x$ = 4000 m in der kürzeren Zeit zurückgelegt hat, oder derjenige, der den Gegner vor Ablauf der Distanz verfolgt und eingeholt hat.

Eine Bahnrunde ist $x_{\text{Runde}}$ = 400 m lang. Der grüne Fahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von $v_1$ = 17 m/s, wärend der rote Fahrer mit $v_2$ = 18 m/s fährt. Geht das Rennen über die reguläre Distanz?

Um zu entscheiden, ob der schnellere Fahrer das Rennen vorzeitig beenden kann, muss man verschiedene Überlegungen anstellen.

• Wie lange benötigt er, um die gesamte Distanz von 4000 m zurückzulegen?
• Wie lange benötigt er, um 200 m weiter als sein Gegner gefahren zu sein?
• Welcher der beiden Fälle tritt früher ein und beendet damit das Rennen?

Für die Distanz von 4000 m benötigt der schnellere Fahrer:

$$t_{\text{gesamt}}=\frac{x}{v_2}=\frac{4000\text{m}}{18\text{m}/\text{s}}=222\text{s}$$

Der grüne Fahrer hat zur Zeit $t$ einen Weg von $x_1(t)=v_1\cdot t$ zurückgelegt.

In der gleichen Zeit kommt der rote Fahrer bis:

$$x_2(t)=v_2\cdot t$$

Damit ist er um

$$x_{\text{Differenz}}(t)=x_2-x_1=(v_2-v_1)\cdot t$$

weiter gefahren als der erste. Er benötigt

$$t_{\text{einholen}}=\frac{1/2\cdot x_{\text{Runde}}}{v_2-v_1}=\frac{200\text{m}}{1\text{m}/\text{s}}=200\text{s}$$

um den Gegner einzuholen.

Das Rennen wird durch den roten Fahrer vorzeitig beendet, da $t_{\text{einholen}}<t_{\text{gesamt}}$.