zum Directory-modus

Beschleunigung

Auf einen Blick - Zusammenfassung Beschleunigung

Die Beschleunigung ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Geschwindigkeit einer Bewegung ändert.

Bezieht man sich auf längere Zeitintervalle Δ t , so spricht man von der mittleren Beschleunigung oder auch Durchschnittsbeschleunigung:

a ¯ = v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = Δ v Δ t
Abb.1

Die momentane Beschleunigung

a = lim t 2 t 1 v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = d v d t = d 2 r d t 2

ergibt sich als Grenzwert aus der mittleren Beschleunigung mit Δ t 0 . Sie ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also die 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit.

Wenn die Bewegung nicht längs einer Geraden abläuft, ist es sinnvoll, die Beschleunigung in eine Normalkomponente, die für die Änderung der Richtung der Bahnbewegung verantwortlich ist, und in eine Tangentialkomponente zu zerlegen, die den Betrag der Geschwindigkeit ändert.

Abb.2

Ist die Normalkomponente konstant, handelt es sich um eine Kreisbewegung. Sie wird als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet. Kreisbewegungen lassen sich auch durch ihren Radius r0 und den Winkel ϕ ( t ) die Winkelgeschwindigkeit

ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t

und die Winkelbeschleunigung

α ( t ) = d ω ( t ) d t = d 2 ϕ ( t ) d t 2

beschreiben.

Ist gleichzeitig die Tangentialkomponente gleich Null, spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Abb.3

Hier ist die Winkelgeschwindigkeit konstant und wird auch Kreisfrequenz genannt.

Die Umlaufzeit T gibt die Zeit an, die für eine Umdrehung benötigt wird. Ihr Kehrwert ist die Frequenz f = 1 / T , welche die Anzahl der Umdrehungen in einer Zeiteinheit angibt.

Kreisfrequenz und Frequenz hängen nach ω = 2 π f zusammen.

Ist die Normalkomponente der Beschleunigung Null, so handelt es sich um eine eindimensionale Bewegung.

Beim Beschleunigungs-Zeit-Graphen ergibt sich die gesamte Geschwindigkeitsänderung aus der Fläche unter dem Graphen zwischen den Zeitpunkten, die das betrachtete Zeitintervall begrenzen. Flächen unterhalb der t-Achse werden dabei negativ gewertet.

Geradlinig gleichförmige Bewegung

Abb.4

a ( t ) = 0 m / s 2

Abb.5

v ( t ) = t 0 t 0 d t ' + v ( t 0 ) = v ( t 0 )

Abb.6

r ( t ) = t 0 t v ( t 0 ) d t ' + r ( t 0 ) = v ( t 0 ) ( t t 0 ) + r ( t 0 )

Dabei v ( t 0 ) die Anfangsgeschwindigkeit und r ( t 0 ) der Startpunkt der Bewegung zur Zeit t 0 .

Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Abb.7

a ( t ) = a ˆ = c o n s t

Abb.8

v ( t ) = t 0 t a ˆ d t ' + v ( t 0 ) = a ˆ ( t t 0 ) + v ( t 0 )

Abb.9

r ( t ) = t 0 t ( a ˆ t ' a ˆ t 0 + v ( t 0 ) ) d t ' + r ( t 0 ) = = 1 2 a ˆ ( t 2 t 0 2 ) + ( v ( t 0 ) a ˆ t 0 ) ( t t 0 ) + r ( t 0 )

Dabei ist v ( t 0 ) die Anfangsgeschwindigkeit und r ( t 0 ) der Startpunkt der Bewegung zur Zeit t 0 .

Zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung in die gleiche Richtung, wird der Gegenstand immer schneller. Zeigen sie in entgegengesetzte Richtung, so wird der Gegenstand bis zum Stillstand abgebremst. Nach diesem Umkehrpunkt wird er in entgegengesetzter Richtung wieder schneller.

Variable Beschleunigung

Lässt sich die Beschleunigung abschnittsweise durch einen der obigen Fälle ausdrücken, können Geschwindigkeit und Ort aus den obigen Ergebnissen zusammengesetzt werden. Ändert sie sich aber kontinuierlich mit der Zeit, so muss beim Integrieren berücksichtigt werden, in welcher Weise sie von der Zeit abhängt.

Bewegungen können durch ihre Bewegungsgleichung und die Anfangsbedingungen beschrieben werden. Die Angabe der Beschleunigung ist eine Differentialgleichung in der Zeit.

Verschiedene Bewegungen können überlagert werden, indem man Ortsvektoren, Geschwindigkeitsvektoren und Beschleunigungsvektoren der einzelnen Bewegungen zu jedem Zeitpunkt addiert. Man nennt dies Superposition von Bewegungen.

Seite 20 von 22