Beschreibung von Bewegungen - Bewegungsgleichung und ihre Lösung

Bei der Diskussion der eindimensionalen Bewegungen wurde die Beschleunigung vorgegeben und nach der Geschwindigkeit und dem Ort gefragt. Dies ist die umgekehrte Richtung der zuvor eingeschlagenen Herangehensweise, bei der die Bahnkurve betrachtet und daraus Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnet wurden.

Vom Ort ausgehend erhält man durch Diffenenzieren nach der Zeit die Geschwindigkeit und durch erneutes Differenzieren die Beschleunigung. Will man bei bekannter Beschleunigung die Geschwindigkeit oder bei bekannter Geschwindigkeit den Ort berechnen, so stellt sich jeweils die Frage nach der Stammfunktion, die differenziert nach der Zeit die Beschleunigung bzw. die Geschwindigkeit ergibt. Da beim Differenzieren konstante Summanden wegfallen, ist die Stammfunktion immer nur bis auf einen konstanten Summanden bestimmt.

Betrachten wir z.B. zwei Bewegungen, die ab dem Zeitpunkt $t=0$ eine konstante Beschleunigung

$$\overrightarrow{a}(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\overrightarrow{g}\end{array}\right)$$

erfahren.

Da sich für

$${\overrightarrow{\upsilon }}_1(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\overrightarrow{g}t\end{array}\right)$$

und für

$${\overrightarrow{\upsilon }}_2(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\overrightarrow{\upsilon }t\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{\upsilon }}_{x_0}\\ {\overrightarrow{\upsilon }}_{y_0}\end{array}\right)$$

durch Differenzieren die gleiche Beschleunigung

$${\overrightarrow{a}}_1(t)={\overrightarrow{a}}_2(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\overrightarrow{g}\end{array}\right)$$

ergibt, kann man bei umgekehrter Fragestellung aus der Beschleunigung

$$\overrightarrow{a}(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\overrightarrow{g}\end{array}\right)$$

die Geschwindigkeit nicht eindeutig bestimmen. Um die Geschwindigkeit $\upsilon \left(t\right)$ zu erhalten, muss der Stammfunktion

$$\overrightarrow{A}(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{a}(t\text{'})\cdot \text{d}t\text{'}=\overrightarrow{g}\cdot t$$

eine Integrationskonstante $\upsilon \left(0\right)$ hinzugefügt werden, die der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ = 0 entspricht.

$$\overrightarrow{\upsilon }(t)=\overrightarrow{g}\cdot t+\overrightarrow{\upsilon }(0)$$

Diese Konstante nennt man Anfangsbedingung.

Ebenso benötigt man bei der Berechnung des Ortes eine Anfangsbedingung, die angibt, wo sich der Gegenstand zum Zeitpunkt $t=0$ befunden hat.

$$\overrightarrow{r}(t)=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{g}\cdot t^2+\overrightarrow{\upsilon }(0)\cdot t+\overrightarrow{r}(0)$$

Bewegungen können also durch Angabe der Beschleunigung, die natürlich auch eine Funktion der Zeit sein kann, und der Anfangsbedingungen beschrieben werden. Da die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, wird sie durch eine Differentialgleichung beschrieben.

$$\overrightarrow{a}(t)=\frac{{\text{d}}^2\overrightarrow{r}(t)}{\text{d}{t}^2}=\left(\begin{array}{c}{f}_x(t)\\ f_y(t)\end{array}\right)$$

Diese Gleichung ähnelt in ihrer Struktur ganz der Bewegungsgleichung, die wir in der Dynamik kennen lernen werden. Möchte man aus der Angabe der Beschleunigung die Position des Teilchens zu allen Zeiten berechnen, so sucht man nach der Lösung der Bewegungsgleichung, für die bestimmte Anfangsbedingungen gelten. Man löst ein so genanntes Anfangswertproblem.

Es ist allerdings für die Lösung nicht unbedingt nötig, als Konstanten den Ort und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$ zu kennen. Es genügt, sie zu einem beliebigen Zeitpunkt $t_1$ zu wissen. Dadurch lassen sich die Integrationskonstanten berechnen, die zur Beschreibung des Ortes bzw. der Geschwindigkeit nötig sind.

Beispiel

Kennt man zusätzlich zur Beschleunigung

$$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}0\\ -10\end{array}\right)\text{m}{\text{s}}^{-2}$$

die Geschwindigkeit

$$\overrightarrow{\upsilon }=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\text{m}{\text{s}}^{-1}$$

zum Zeitpunkt $t_1=2\text{s}$, so lässt sich $\upsilon \left(0\right)$ berechnen.

Wegen

$$\overrightarrow{\upsilon }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{a}(t\text{'})\cdot \text{d}t\text{'}+\overrightarrow{\upsilon }(0)=\overrightarrow{a}\cdot t+\overrightarrow{\upsilon }(0)$$

erhält man

$$\overrightarrow{\upsilon }(t_1)=\overrightarrow{a}\cdot t_1+\overrightarrow{\upsilon }(0)={\overrightarrow{\upsilon }}_1$$

und:

$$\overrightarrow{\upsilon }(0)={\overrightarrow{\upsilon }}_1-\overrightarrow{a}\cdot t_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\text{m}{\text{s}}^{-1}-\left(\begin{array}{c}0\\ -10\end{array}\right)\text{m}{\text{s}}^{-2}\cdot 2\text{s}=\left(\begin{array}{c}4\\ -18\end{array}\right)\text{m}{\text{s}}^{-1}$$

Hinweis

Um aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit eindeutig bestimmen zu können, ist es nötig, zusätzlich zum zeitlichen Verlauf der Beschleunigung die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu kennen, da bei der Integration der Stammfunktion eine Integrationskonstante hinzugefügt werden muss. Ebenso benötigt man zur Bestimmung des Ortes den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit und den Ort zu einem Zeitpunkt.