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Das Reflexionsgesetz an gekrümmten Oberflächen

Hohlspiegel (Konkavspiegel)

Von praktischem Interesse sind hauptsächlich sphärische Spiegel und Parabolspiegel. Sind die Innenseiten der Flächen verspiegelt, so handelt es sich um Hohl- oder Konkavspiegel.

Fällt Licht nach unten stehender Abbildung parallel zur optischen Achse auf einen Parabolspiegel, so schneiden sich alle reflektierten Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt F, der seinen Namen der Tatsache verdankt, dass ein leicht entzündlicher Gegenstand hierhin gehalten, durch die starke Bündelung der Lichtenergie leicht Feuer fangen kann. Bringt man umgekehrt eine punktförmige Lichtquelle in den Brennpunkt, so wird das divergente Teilbündel, das auf den Spiegel trifft, durch die Reflexion zu einem Parallelbündel.

Abb.1
Erstellt mit dem Programm "Spiegel" von Jörg Schmidt, Nürnberg

Das Anwendungsspektrum von Parabolspiegeln reicht von Taschenlampen und Autoscheinwerferreflektoren zur Aussendung von möglichst parallel (nicht divergenten) Lichtbündeln bis zu Satellitenantennen und Bauteilen in Teleskopen zur Bündelung von (nahezu) parallelen Strahlen in einem Punkt.

Allgemeines über sphärische Spiegel

Fällt Licht parallel zur optischen Achse auf einen sphärischen Konkavspiegel, so kreuzen sich die reflektierten Strahlen nicht in einem Punkt wie beim Parabolspiegel. Nach der Reflexion treffen sich nur die achsennahen Strahlen (Paraxialstrahlen) im Brennpunkt F, während die achsenfernen Strahlen die optische Achse näher am Scheitelpunkt S schneiden. Diese Abweichung nennt man sphärische Aberration oder Öffnungsfehler. Die Gesamtheit aller reflektierten Strahlen wird von einer Brennfläche eingehüllt, deren Schnitt mit einer durch die optische Achse gelegten Ebene die Katakaustik ergibt. Die Spitze der Katakaustik liegt im Brennpunkt des Spiegels.

Abb.2
Erstellt mit dem Programm "Spiegel" von Jörg Schmidt, Nürnberg

Die sphärische Aberration lässt sich verringern, wenn die achsenfernen Strahlen ausgeblendet und somit nur die Paraxialstrahlen reflektiert werden.

Brennweite des sphärischen Spiegels

Wegen der einfacheren mathematischen Behandlung bestimmen wir die Brennweite des sphärischen Spiegels anstatt die eines parabolischen. Um die Brennweite zu berechnen, betrachten wir zunächst die folgende Abbildung.

Abb.3

Ein parallel zur optischen Achse einfallender Lichtstrahl trifft den Spiegel im Punkt A und wird reflektiert. Der Abstand f des Brennpunktes F vom Scheitel S beträgt: f = r C F ¯ Die Strecke C F ¯ ist: C F ¯ = r 2 cos α Damit ergibt sich für die Brennweite f des sphärischen Spiegels: f = r ( 1 1 2 cos α )

Bei paraxialen Strahlen ist der Winkel α sehr klein und cos α 1 . Mit dieser Vereinfachung gilt dann schließlich unabhängig vom Abstand der Strahlen zur optischen Achse das folgende Gesetz.

Brennweite eines sphärischen Spiegels
Für die Brennweite f eines sphärischen Spiegels mit Krümmungsradius r gilt für achsennahe Strahlen: f = r 2

Bildentstehung beim sphärischen Spiegel

In der unteren Abbildung befindet sich ein Gegenstand P außerhalb des Spiegelmittelpunktes C auf der optischen Achse CS . Es wird nun ein Lichtstrahl betrachtet, der von P ausgeht, vom Spiegel in A reflektiert wird und die optische Achse im Bildpunkt P' schneidet.

Abb.4

Der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite g und der Bildweite b lässt sich aus obiger Abbildung erkennen. Es gelten folgende Winkelbeziehungen: β = γ + α γ ' = β + α = γ + 2 α } 2 β = γ + γ ' Für kleine Winkel gilt : γ = e g ; β = e r ; γ ' = e b Damit erhält man die Abbildungsgleichung des sphärischen Spiegels für paraxiale Strahlen (Spiegelformel) 1 g + 1 b = 2 r bzw. das folgende Gesetz.

Abbildungsgleichung eines sphärischen Spiegels
Bei Abbildung eines Punktes mit der Gegenstandsweite g , der Bildweite b und der Brennweite f eines sphärischen Spiegels gilt: 1 g + 1 b = 1 f

Bildkonstruktion

Im Folgenden wird die Abbildung eines räumlich ausgedehnten Gegenstandes betrachtet. Für den Zusammenhang zwischen Gegenstands- und Bildweite gilt die Abbildungsgleichung der Spiegelformel, solange nur paraxiale Strahlen an der Abbildung beteiligt sind. Das Bild eines Punktes außerhalb der optischen Achse lässt sich mit zwei der folgenden vier Strahlen einfach zeichnerisch konstruieren.

Abb.5
  1. Der achsenparallele Strahl geht nach seiner Reflexion durch den Brennpunkt F (Parallelstrahl wird Brennpunktstrahl).
  2. Der Brennpunktstrahl wird parallel zur optischen Achse reflektiert (Brennpunktstrahl wird Parallelstrahl).
  3. Der radiale Strahl geht durch den Krümmungsmittelpunkt C geht und wird in sich reflektiert.
  4. Der zentrale Strahl trifft den Spiegel im Scheitelpunkt S und bildet vor und nach der Reflexion mit der Achse den gleichen Winkel (Zentralstrahl bleibt Zentralstrahl).
Arbeitsauftrag

Abb.6
JPAKMA-Projekt "Konkaver Spiegel"

Abbildungsmaßstab (Lateralvergrößerung)

Abbildungsmaßstab (Lateralvergrößerung)
Für das Verhältnis von Gegenstandsgröße G und Bildgröße B , das man als Abbildungsmaßstab V oder Lateralvergrößerung bezeichnet, gilt die Beziehung: V = B G = b g Ist der Abbildungsmaßstab negativ, so steht das Bild auf dem Kopf.

Bildwölbung

Bei der Abbildung von räumlich ausgedehten Gegenständen tritt zudem ein weiterer Abbildungsfehler auf. Bei größeren Abständen zur optischen Achse kann zwar jeder Gegenstandspunkt noch einen scharfen Bildpunkt besitzen, aber das Bild liegt dann nicht in einer Ebene, sondern ist gekrümmt.

Abb.7

Je weiter ein Gegenstandspunkt seitlich von der optischen Achse entfernt ist, um so mehr rückt sein Bildpunkt vom Spiegel fort und aus der Bildebene heraus, die durch den Achsenpunkt bestimmt ist. Im Gegensatz zur sphärischen Aberration, die bei Abbildungen eines punktförmigen Gegenstandes mit weit geöffneten Bündeln auftritt, zeigt sich hier eine andere Art von Abbildungsfehler: Die Bildwölbung tritt bei Abbildung eines ebenen, ausgedehnten Gegenstandes sogar bei paraxialen Strahlen auf.

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