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Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

Quantitative Betrachtungen zur Fortpflanzung elektromagnetischer Wellen

In diesem Abschnitt wird eine der grundlegenden Theorien der klassischen Physik, die Maxwell'sche Theorie der elektromagnetischen Wellen, unter dem Aspekt der Fortpflanzung umrissen. Wir greifen auf die 1. und 2. Maxwell'sche Gleichung in einer von vielen möglichen Formen zurück und sprechen im Weiteren synonym von dem in der Literatur auch üblichen Maxwell'schen Induktionsgesetz und dem Faraday'schen Induktionsgesetz. Maxwell hatte im Jahr 1864 theoretisch die Grundgesetze des elektromagnetischen Feldes aufgestellt, die dann 24 Jahre später experimentell durch Hertz bestätigt wurde.

Die gegenseitige Induktion des elektrischen und magnetischen Feldes ist weiterer Gegenstand dieses Gliederungspunktes.

Betrachten wir zuerst die Erzeugung der elektrischen Feldstärke E infolge der Änderung der magnetischen Flussdichte B in einem Punkt P (Qualitative Betrachtungen). Ein elektromagnetisches Feld zieht in der Zeit d t mit dem Abstand d x an dem Punkt vorbei. Nehmen wir an, dass dabei die magnetische Flussdichte B abnimmt. Das hat nun zur Folge, dass entsprechend dem Faraday'schen Induktionsgesetz in einer gedachten rechteckigen Leiterschleife in der xy-Ebene im Abstand d x der vorbeiziehenden Felder ein elektrisches Ringfeld mit den Feldstärken E und E + d E in y-Richtung induziert wird. Dem Lenz'schen Gesetz folgend wird ein Ringstrom entgegen dem Uhrzeigersinn induziert, der der abnehmenden magnetischen Flussdichte B entgegenwirkt und die elektromagnetische Welle aufrechterhält. Eine Skizze veranschaulicht diese Abläufe.

Abb.1
Skizze zum Faraday'schen Induktionsgesetz

Im Folgenden wollen wir das Faraday'sche Induktionsgesetz (2. Maxwell-Gleichung) quantitativ anwenden und das induzierte elektrische Feld in Wechselwirkung mit der magnetischen Komponente der elektromagnetischen Welle herleiten.

E · d s = d Φ B d t

In der gedachten rechteckigen Leiterschleife h · d x in der xy-Ebene werden entgegen dem Uhrzeigersinn in einem Ringintegral die elektrischen Feldstärken E und E + d E parallel zur y-Achse erfasst, während die Anteile der x-Achse wegen der Orthogonalität von E und d x Null sind.

E · d s = ( 0, E ,0 ) · ( 0, dy ,0 ) = E + d E h E h = h d E

Der magnetische Fluss Φ B des markierten Rechtecks ist:

d Φ B = B · d A = B h d x

mit B als mittlerem Betrag der magnetischen Flussdichte innerhalb des von h und d x aufgespannten Rechtecks. Die erste Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit ist:

d Φ B d t = d d t ( B h d x ) = h d x d B d t

Nach Einsetzen der beiden Terme in die Gleichung des Induktionsgesetzes erhält man:

E · d s = d Φ B d t = h · d E = h · d x d B d t ,
d E d x = d B d t .

Da die elektrische Feldstärke E = E 0 · sin k x - ω t und die magnetische Flussdichte B = B 0 · sin k x - ω t jeweils vom Ort x und der Zeit t abhängen, muss bei der Bildung von d E d x die Zeit t konstant gehalten werden und bei der Bildung von d B d t der Ort x konstant bleiben. Im ersten Fall haben wir eine Momentaufnahme von der induzierten elektrischen Feldstärkeänderung entlang der Ausbreitungsrichtung d x, im zweiten Fall eine zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte in dem festen Punkt P.

Mathematisch gesehen handelt es sich in beiden Fällen um partielle Ableitungen:

E x = B t .

Über dem Rechteck h d x nimmt die elektrische Feldstärke E mit x zu, die magnetische Flussdichte B dagegen nimmt mit fortschreitender Zeit t im infinitesimalen Umfeld des Punktes P ab. Deshalb erscheint in der obigen Gleichung ein Minuszeichen.

Nach Ausführen der partiellen Ableitungen der Gleichungen für die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte

E x = x ( E 0 sin ( k x ω t ) ) = k E 0 cos k x ω t
B t = x ( E 0 sin ( k x ω t ) ) = ω B 0 cos k x ω t

erhält man schließlich durch Gleichsetzung:

k E 0 cos k x ω t = + ω B 0 cos k x ω t .

Nach Umstellung erkennen wir:

E 0 B 0 = ω k = 2 π ν k = λ ν = c .

Wir sehen, dass das Amplitudenverhältnis der elektrischen und magnetischen Komponente der elektromagnetischen Welle konstant ist und durch die Vakuum-Ausbreitungsgeschwindigkeit c bestimmt wird.

Betrachten wir nun die Erzeugung der magnetischen Flussdichte B bei Änderung der elektrischen Feldstärke E im Punkt P (Qualitative Betrachtungen). Wieder zieht das elektromagnetische Feld in der Zeit d t mit dem Abstand d x an diesem Punkt vorbei. Nun aber nehmen wir an, dass die elektrische Feldstärke E abnimmt und sich damit zeitlich der elektrische Fluss Φ E in y-Richtung ändert. Entsprechend dem nunmehr Maxwell'schen Induktionsgesetz werden jetzt durch die Änderung des elektrischen Flusses Φ E in der xz-Ebene im Abstand d x Magnetfelder mit der magnetischen Flussdichte B in z-Richtung induziert. Die induzierten magnetischen Flussdichten folgen wieder dem Lenz'schen Gesetz und sind in einer Skizze veranschaulicht.

Abb.2
Skizze zum Maxwell'schen Induktionsgesetz

Wenden wir nun das Maxwell'sche Induktionsgesetz (1. Maxwell-Gleichung) an, um das induzierte magnetische Feld in Wechselwirkung mit der elektrischen Komponente der elektromagnetischen Welle herzuleiten.

B · d s = μ 0 ε 0 d Φ E d t

ε 0 ist die elektrische Feldkonstante, μ 0 ist die magnetische Feldkonstante.

In einem Rechteck h · d x in der xz-Ebene werden entgegen dem Uhrzeigersinn in einem Ringintegral die magnetischen Flussdichten B und B + d B parallel zur z-Achse erfasst, während die Anteile der x-Achse wegen der Orthogonalität von B und d x wiederum null sind.

B · d s = ( 0,0, B ) · ( 0,0, d z ) = B + d B h + B h = h d B

Der elektrische Fluss Φ E des markierten Rechtecks ist

d Φ E = B · d A = E h d x

mit E als mittlerem Betrag der elektrischen Feldstärke innerhalb des von h und d x aufgespannten Rechtecks.

Die erste Ableitung des elektrischen Flusses nach der Zeit ist:

d Φ E d t = d d t ( h E d x ) = h d x d E d t

Nach Einsetzen dieser Terme in das Maxwell'sche Induktionsgesetz erhält man

h · d B = μ 0 ε 0 · h · d x · d E d t

bzw. in partieller Schreibweise

B x = μ 0 ε 0 E t

wieder mit dem notwendigen Minuszeichen, weil im Rechteck h d x in der xz-Ebene die magnetische Flussdichte B im Punkt P mit x zunimmt, aber die elektrische Feldstärke E mit der Zeit t abnimmt.

Die einzelnen Partialableitungen sind:

B x = k B 0 cos k x ω t ,
E t = ω E 0 cos k x ω t .

Setzt man diese in die Gleichung davor ein, ergibt sich

k · B 0 · cos k x ω t = μ 0 ε 0 · ω · E 0 · cos k x ω t

bzw.

E 0 B 0 = k μ 0 ε 0 ω = 1 μ 0 ε 0 ω k = 1 μ 0 ε 0 · c .

Daraus folgt

c = 1 μ 0 ε 0 · c

mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c für das Vakuum einer elektromagnetischen Welle

c = 1 μ 0 ε 0 .

Diese theoretische Herleitung der Ausbreitungsgeschwindigkeit c im Vakuum für elektromagnetische Wellen, auch als Lichtgeschwindigkeit bezeichnet, war eine bedeutende Leistung der Physik im 19. Jahrhundert.

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