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Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

Begriffe und physikalische Größen

Nach der Behandlung der Grundaussagen der Maxwell'schen Theorie sollen nun einige Begriffe und physikalische Größen eingeführt und erläutert werden, die für experimentelle Messungen und theoretische Herleitungen sinnvoll und wichtig sind.

Energietransport

Wenn elektromagnetische Wellen ausgestrahlt werden, dann wird Energie transportiert (Energietransport). Der so genannte Poynting-Vektor S beschreibt den Energietransport pro Zeit und Fläche einer ausgestrahlten Welle, die in einem Punkt P auf ein Objekt trifft. Der Energietransport pro Zeit wird dabei durch die Leistung in Watt repräsentiert, so dass S also eine Leistung pro Fläche in W m 2 ausgedrückt. Der Poynting-Vektor S ist definiert durch

S = 1 μ 0 E × B

wobei E × B das Vektorprodukt aus der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Flussdichte B ist und der Reziprokwert der magnetischen Feldkonstante μ 0 den Proportionalitätsfaktor darstellt. Die Richtung des Poynting-Vektors S ist als Vektorprodukt senkrecht auf E und B stehend ausgerichtet und gibt die Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle c und die Energietransportrichtung an. Der Betrag des Poynting-Vektors berechnet sich aus den Beträgen von E und B, weil E und B senkrecht zueinander stehen:

| S | = S = 1 μ 0 E B cos 90 = 1 μ 0 E B

Wegen E / B = c ergibt sich nun für den Betrag des Poynting-Vektors auch folgende Form:

S = 1 μ 0 E · E c = 1 c μ 0 E 2 .

Diese Form hat den Vorteil, dass nun die leichter messbare elektrische Feldstärke E allein zur Berechnung des Energietransportes herangezogen werden kann.

In jeder der beiden obigen Formeln stellen S, E und B momentane Werte dar, die Sinusfunktionen des Ortes und der Zeit sind, welche wir bereits in früheren Gleichungen formuliert haben. Die Anteile des Energietransportes der elektrischen und magnetischen Komponente einer elektromagnetischen Welle sind stets gleich und machen jeweils anteilig die Hälfte der Energie der Welle aus.

Aufschlussreicher als der Energietransport der Momentanwerte ist oft der mittlere Energietransport einer elektromagnetischen Welle über eine volle Periodendauer. Auch hier liegt eine abgestrahlte Energie pro Zeit vor, aber eben eine mittlere Energie, die wieder auf eine Flächeneinheit bezogen wird. Der zeitlich mittlere Energietransport pro Fläche wird als Intensität oder Bestrahlungsstärke bezeichnet und mit dem Symbol I belegt.

Der Mittelwert von E über eine Periodendauer T ist der Effektivwert E eff , der statt E in die Gleichung des Betrags des Poynting-Vektors eingesetzt wird. Dieser spezielle Wert des Betrags des Poynting-Vektors S ist also die Intensität I:

I = S eff = 1 c μ 0 E eff 2 .

Der Effektivwert E eff wird dabei theoretisch aus dem quadratisch gemittelten Wert der elektrischen Feldstärke über eine Periodendauer hergeleitet. Die ausgestrahlte mittlere Leistung bei Nutzung des Effektivwertes ist gleich der Leistung, die sich aus der Aufsummierung der Einzelenergietransporte pro Zeit in einer Periodendauer ergibt (Gleichrichtwert und Effektivwert). Das Quadrat des Effektivwertes E eff ist dann gleich dem halben Quadrat des Amplitutenwertes E 0 der elektrischen Feldstärke.

E eff 2 = 1 2 E 0 2
E eff = E 0 2
I = 1 c μ 0 E eff 2 = 1 2 c μ 0 E 0 2

Intensität und Abstand

Wenn eine elektromagnetische Welle ausgesandt wird, ist ihre Intensität abhängig von der Leistung der Quelle, vom Abstand zur Quelle und von der Richtung, in der die Quelle ausstrahlt. Die Erfassung und Beschreibung der Intensität der Strahlung ist sehr komplex. Meist arbeitet man mit Näherungen.

Bei einem elektrischen Dipol ist die Intensität der ausgesandten Welle abhängig von der Leistung sowie abhängig von der Ausstrahlungsrichtung und vom Abstand. Die Strahlungsintensität ist in der Mittelebene senkrecht zum Dipol am größten. Sie wird kleiner, je weiter der Winkel in Richtung Dipolachse zeigt. Außerdem wird die Intensität umso kleiner, je mehr man sich vom Dipol entfernt. Die Intensität I ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r vom Dipol.

Abb.1
Dreidimensionale Abhängigkeit der Intensität eines Dipols von der Ausstrahlrichtung

Bei einer Punktquelle elektromagnetischer Strahlung ist die Intensität natürlich ebenfalls direkt proportional zur abgestrahlten Leistung. Eine Kugelfläche um die Punktquelle herum zeigt, wie die Intensität I mit dem Quadrat des Abstandes r von der Quelle abnimmt. Für eine isotrope Punktquelle gilt:

I = P Q 4 π r 2

mit P Q als Leistung der Punktquelle und dem Quellenabstand r.

Strahlungsdruck

Elektromagnetische Wellen transportieren nicht nur Energie, sondern übertragen auch einen Impuls, wenn sie auf einen Gegenstand treffen. Den Druck, den sie dabei ausüben, nennt man den Strahlungsdruck. Dieser tritt beispielsweise beim Blitzlicht einer Kamera oder aber in der Lasertechnik auf. Ist der Strahlungsdruck im ersten Fall noch sehr schwach, aber dennoch experimentell messbar, so ist er beim Laserstrahl infolge seiner Fokussierung sehr groß, so dass damit z.B. bei einer Augenoperation die Netzhaut geschweißt werden kann.

Wir wollen im Weiteren einen Zusammenhang zwischen Strahlungsdruck und Intensität einer elektromagnetischen Welle herstellen und definieren. Wenn auf ein Objekt elektromagnetische Strahlung trifft und diese vollständig absorbiert wird, kommt es zur Übertragung einen bestimmten Energieänderung Δ U (wir benutzen U statt E für die Energie, um sie von der elektrischen Feldstärke unterscheiden zu können) auf den Gegenstand. Nach James Maxwell existiert zur Energieänderung Δ U eine entsprechende Impulsänderung Δ p, in die als Konstante die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) c eingeht.

Δ p = Δ U c

Die Richtung der Impulsänderung ist gleich der Richtung der einfallenden Strahlung. Deshalb können wir mit Beträgen statt mit Vektoren rechnen. Wenn die Strahlung jedoch nicht absorbiert, sondern am Gegenstand vollständig reflektiert wird, dann ist der Betrag der Impulsänderung Δ p jetzt doppelt so groß, weil der Strahl in entgegengesetzter Richtung zurückläuft.

Δ p = 2 Δ U c

Das Newton'sche Grundgesetz der Mechanik (Definition von Kraft) verbindet die Impulsänderung Δ p mit der Kraft F .

F = Δ p Δ t

Um nun statt der Energieänderung Δ U die Intensität I zu verwenden, benutzen wir eine andere Form der Definition der Intensität, indem wir die auftreffende Energieänderung pro Zeit und Fläche ausdrücken.

I = Δ U A Δ t

Die Fläche ist dabei die senkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle gerichtete Oberfläche.

Setzen wir dann statt Δ U die Intensität I in die Gleichung der Kraft ein, so erhalten wir bei vollständiger Absorption

F = I A Δ t c Δ t = I A c

und bei vollständiger Reflexion

F = 2 I A Δ t c Δ t = 2 I A c .

Die Kraft pro Fläche, die die elektromagnetische Welle auf einen Gegenstand ausübt, nennt man den Strahlungsdruck p s . Der Strahlungsdruck p s wird in Pascal Pa oder N m-2 angegeben. Dabei muss p s deutlich vom Impuls p unterschieden werden.

Der Strahlungsdruck p s für eine vollständige Absorption lautet

p s = F A = I c

und für die vollständige Reflexion

p s = F A = 2 I c .

Bei teilweiser Absorption und Reflexion liegt er zwischen diesen Grenzfällen.

Lecher-Leitung

Nach unserem Exkurs in die Theorie elektromagnetischer Felder gehen wir am Ende noch einmal zurück zur qualitativen Betrachtung sich fortpflanzender Wellen. Wenn wir an einen Schwingkreissender mit Dipol eine elektrische Doppelleitung ankoppeln, dann entstehen in den Leitungen Ströme und Spannungen, während sich dazwischen ein elektromagnetisches Feld entlang der Leitung ausbreitet. Das führt zu stehenden Wellen. Eine solche Doppelleitung wird auch als Lecher-Leitung bezeichnet.

Die Länge der Doppelleitung kann variiert werden, um Resonanzen zu finden, die zu ausgeprägten stehenden elektromagnetischen Wellen führen. Je nachdem wie die Leitung am Anfang eingekoppelt und am Ende offen oder geschlossen ist, bilden sich Knoten und Bäuche der elektrischen und magnetischen Felder sowie stehende Wellen mit messbaren Stromstärken und Spannungen. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Schwingungsknoten ist die halbe Wellenlänge λ / 2 . In Abhängigkeit von der Kopplung ergeben sich unterschiedliche Phasenverschiebungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern. Das Ende der Doppelleitung muss angepasst werden.

Mittels Doppelleitungen kann man unbekannte Wellenlängen elektromagnetischer Wellen sehr genau bestimmen. Wenn die Sendefrequenz fest vorgegeben ist, lässt sich damit die genaue Ausbreitungsgeschwindigkeit c im Vakuum angeben. Liegt ein anderes Dielektrikum vor, so ist die veränderte Ausbreitungsgeschwindigkeit von Bedeutung.

Das in der Praxis allgemein eingesetzte Koaxialkabel ist eine technische Anwendung der Lecher-Leitung bzw. Doppelleitung. Das Koaxialkabel besteht im Innern aus einem Metalldraht, außen herum liegt ein metallischer Hohlzylinder, dazwischen befindet sich das Dielektrikum. Der Hohlzylinder wirkt wie ein Faraday'scher Käfig. Das Koaxialkabel schirmt Störungen ab und verringert Energieverluste. Es ist besonders geeignet zur Übertragung breiter Frequenzbänder beim UKW- und Fernsehempfang.

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