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Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

Analogien: Schwingkreis und mechanische Schwingung

Durch den Vergleich von Schwingkreis und mechanischer Schwingung wurden bereits einige Analogien gezeigt. Die analogen Größen und Gleichungen sollen nun systematisch aufgelistet werden.

Harmonische Schwingung

Die Auslenkung beim mechanischen Pendel verhält sich wie die Spannung am Kondensator des Schwingkreises. Die analoge Größe zur Auslenkung ist allerdings die Ladung Q auf dem Kondensator. Spannung U und Ladung verhalten sich bei konstanter Kondensatorkapazität proportional. Die Geschwindigkeit des Pendels entspricht der Stromstärke der bewegten Ladungen in den Leitungen des Schwingkreises.

Tab.1
Analogien zwischen Schwingkreis und mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Auslenkung s Ladung Q
Geschwindigkeit v Stromstärke I

Dementsprechend kann man beim mechanischen Pendel eine periodische Umwandlung zwischen potenzieller und kinetischer Energie beobachten. Im Schwingkreis entspricht dies einer Übertragung zwischen der Energie des elektrischen Feldes und des magnetischen Feldes . Beachten Sie, dass s , v , U , Q und I zeitabhängige Größen sind.

Tab.2
Analogien zwischen Schwingkreis und mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Potenzielle Energie der Feder E pot = 1 2 D s ² Energie des elektrischen Feldes im Kondensator E el = 1 2 C U 2 = 1 2 1 C Q 2
Kinetische Energie des Pendelkörpers E kin = 1 2 m v ² Energie des magnetischen Feldes in der Spule E mag = 1 2 L I 2

Die analogen Größen zu Masse und Federstärke des mechanischen Pendels sind in aufgeführt.

Tab.3
Analogien zwischen Schwingkreis und mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Masse m Induktivität L
Federhärte D Reziproke Kapazität 1 C

Die Schwingungsgleichung der (ungedämpften) harmonischen mechanischen Schwingung wird in der Lerneinheit Harmonische Schwingungen beschrieben. Die Schwingungsgleichung für den ungedämpften Schwingkreis hat die gleiche Form .

Tab.4
Analogien zwischen Schwingkreis und mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Schwingungsgleichung m s ¨ + D s = 0 Schwingungsgleichung L Q ¨ + 1 C Q = 0

Die Berechnung der Schwingungsgleichung wird hier nicht vorgeführt. Sie ist völlig analog zum Rechenweg, der in der Lerneinheit Harmonische Schwingungen angegeben ist. Die Lösung für die Bahnkurve s t beim mechanischen Pendel beziehungsweise die Ladung Q t beim Schwingkreis ist eine Sinusfunktion mit der Kreisfrequenz ω 0 und der Zeit t .

Tab.5
Analogien zwischen Schwingkreis und mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Lösung der Schwingungsgleichung s ( t ) = s 0 sin ( ω 0 t + ϕ ) Lösung der Schwingungsgleichung Q ( t ) = Q 0 sin ( ω 0 t + ϕ )
Eigenfrequenz ω 0 = D m Eigenfrequenz ω 0 = 1 L C

Gedämpfte harmonische Schwingung

Bei der gedämpften mechanischen Schwingung wurde in der Schwingungsgleichung ein zusätzlicher, geschwindigkeitsabhängiger Reibungsterm k s ˙ beschrieben. Beim elektrischen Schwingkreis ist aufgrund der Analogie ein stromstärkeabhängiger Reibungsterm zu erwarten. Diese Reibung wurde in der Lerneinheit Der einfache Stromkreis vorgestellt. Bei der Reibungskonstanten handelt sich um den Ohm'schen Widerstand R .

Tab.6
Analogien zwischen Schwingkreis und gedämpfter mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Schwingungsgleichung m s ¨ + k s ˙ + D s = 0 Schwingungsgleichung L Q ¨ + R Q ˙ + 1 C Q = 0
Dämpfungskonstante k Ohm'scher Widerstand R

Die Schwingungsgleichung wird wiederum analog gelöst . Insbesondere existieren auch beim elektrischen Schwingkreis die drei Fälle: Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall. Die Schwingungsfrequenz ändert sich leicht in Abhängigkeit von der Dämpfungskonstanten.

Tab.7
Analogien zwischen Schwingkreis und gedämpfter mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Lösung der Schwingungsgleichung s ( t ) = s 0 e δ t ( cos ( ω t ) + δ ω sin ( ω t ) ) Lösung der Schwingungsgleichung Q ( t ) = Q 0 e δ t ( cos ( ω t ) + δ ω sin ( ω t ) )
Logarithmisches Dekrement δ = k 2 m Logarithmisches Dekrement δ = R 2 L
Schwingungsfrequenz ω = ω 0 ² δ ² Schwingungsfrequenz ω = ω 0 ² δ ²

Erzwungene Schwingung

Eine gedämpfte Schwingung gibt Energie in Form von Reibungswärme ab. Da jede reale mechanische Schwingung einen Dämpfungswiderstand und jede reale elektrische Schwingung (von Supraleitung abgesehen) einen Ohm'schen Widerstand besitzt, klingt die Schwingung mit der Zeit ab.

Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss sie von außen mit einer periodisch veränderlichen Kraft F = F 0 cos ( ω err t ) beim mechanischen Pendel beziehungsweise Spannung U = U 0 cos ( ω err t ) im elektrischen Schwingkreis angetrieben werden.

Tab.8
Analogien zwischen Schwingkreis und erzwungener mechanischer Schwingung
Mechanische SchwingungElektrischer Schwingkreis
Schwingungsgleichung m s ¨ + k s ˙ + D s = F 0 cos ( ω err t ) Schwingungsgleichung L Q ¨ + R Q ˙ + 1 C Q = U 0 cos ( ω err t )

Man spricht von resonanter Erregung oder kurz Resonanz, wenn die Erregerfrequenz ω err gleich der Eigenfrequenz ω 0 ist.

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