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Kondensatoraufladung und -entladung

Auf- und Entladevorgänge eines Kondensators, Zusammenhänge zwischen den Größen

Das Wirkungsgefüge der Modellrechnung wurde im letzten JPAKMA-Projekt erarbeitet. Wie genau sich die abgebildeten Größen zueinander verhalten, wollen wir in der folgenden Herleitung betrachten:

Das Laden eines Kondensators: Hierbei ist R der Ohm'sche Widerstand und U R die am Widerstand abfallende Spannung. C beschreibt die Kapazität und Q die Ladung des Kondensators. U C bezeichnet die am Kondensator herrschende Spannung. U b bezeichnet die Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt aufgrund der 2. Kirchhoff'schen Regel (Maschenregel):

U b U R U C = 0.

Die Erklärung über den Verlauf der Spannungen hatten wir uns bereits in der Lösung des ersten Arbeitsauftrages an dieser Gleichung verdeutlicht.Mit U R = I R und U C = Q C erhält man durch Einsetzen in Gleichung :

U b I R Q C = 0.

Die Stromstärke entspricht der Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit auf den Kondensator fließt, also gilt:

I = d Q d t

Eingesetzt in Gleichung erhält man:

U b d Q d t R Q C = 0

Multipliziert man diese Gleichung mit C , dann erhält man:

C U b R C d Q d t Q = 0 d Q d t + 1 R C Q C U b R C = 0

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung müssen wir eine Funktion Q ( t ) finden, welche die Gleichung erfüllt. Durch Trennung der Variablen findet man die Lösung:

Q ( t ) = C U b ( 1 e ( t R C ) )
Hinweis:
Man kann durch Einsetzen in die Differenzialgleichung zeigen, dass diese Funktion die Gleichung erfüllt.

Wegen I = d Q d t erhält man für die Stromstärke durch Ableiten der Funktion Q ( t ) nach der Zeit t:

I ( t ) = U b R e ( t R C )

Beim Entladen eines Kondensators vereinfacht sich die 2. Kirchhoff'sche Regel (Maschenregel) aufgrund der Tatsache, dass nur die Spannung des geladenen Kondensator am Widerstand anliegt. Es gilt somit:

U C U R = 0

Mit U R = I R und U C = Q C erhält man durch Einsetzen in die Gleichung :

Q C I R = 0.

Die Stromstärke entspricht beim Entladen des Kondensators der Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit vom Kondensator fließt, hier gilt also:

I = d Q d t .

Ersetzt man I in obiger Gleichung , dann erhält man:

Q C + R d Q d t = 0 d Q d t + Q R C = 0.

Wieder muss man zur Lösung dieser Differenzialgleichung eine Funktion Q ( t ) finden, welche die Gleichung erfüllt.Durch Trennung der Variablen findet man die Lösung:

Q ( t ) = C U b e ( t R C ) = Q 0 e ( t R C )

Hierbei ist Q 0 die Ladung des Kondensators zu Beginn des Entladens.Aus I = d Q d t erhält man für die Stromstärke durch Ableiten der Funktion Q ( t ) nach der Zeit t:

I ( t ) = C U b ( 1 R C ) e ( t R C ) = U b R e ( t R C ) = I 0 e ( t R C )

Hierbei ist I 0 die Stromstärke zu Beginn des Entladevorgangs des Kondensators.

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