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Die Arbeit im elektrischen Feld

Arbeit und Spannung im Coulomb-Feld

Es soll das Potenzial eines Radialfeldes berechnet werden, bzw. die Spannung zwischen zwei Punkten A und B im Feld und die Arbeit, die man benötigt, um eine Probeladung q in das Feld zu bewegen.

Dazu erinnern wir uns zunächst an die Feldstärke des Coulomb-Felds, d.h. des Feldes einer ortsfesten, punktförmigen Ladung Q . Der Nullpunkt des Koordinatensystems, in dem der Ortsvektor r gemessen wird, soll dabei der Ort der Punktladung sein. Die Feldstärke am Ort r ist

E ( r ) = 1 4 π ε 0 Q r 2 r 0

Die Kraft, die auf eine Probeladung q am Ort r im Coulombfeld der Ladung Q wirkt, ist

F ( r ) = 1 4 π ε 0 q Q r 2 r 0 .

Der Vektor r 0 bezeichnet einen Einheitsvektor, d.h. einen Vektor der Länge 1, der in Richtung des Ortsvektors r zeigt. In den obigen Formeln weist der Einheitsvektor darauf hin, dass die Vektoren der Feldstärke E und der Kraft F in Richtung des Ortsvektors r gerichtet sind.

Die elektrische Spannung zwischen einem Punkt A mit dem Ortsvektor r A zu einem Punkt B mit dem Ortsvektor r B im Coulomb-Feld ist

U A B = A B E ( r ) d r = A B 1 4 π ε 0 Q r 2 r 0 d r = Q 4 π ε 0 ( 1 r B 1 r A )

Als Potenzialnullpunkt wird oft das Potenzial in unendlicher Entfernung r A = festgelegt. Somit ist das Potenzial am Ort r

Φ ( r ) = Q 4 π ε 0 1 r .

Das Potenzial beschreibt also die elektrische Spannung, die zwischen dem Unendlichen und einem Ort r im Feld herrscht. Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Probeladung q aus dem Unendlichen an den Ort r im Feld einer Punktladung zu bringen ist

W ( r ) = q Φ ( r ) = q Q 4 π ε 0 r .

Wie im Gravitationsfeld spricht man hier auch von potentieller Energie.

Beispiel

Eine negative Probeladung (z.B. ein Elektron) wird aus unendlicher Entfernung in die Nähe einer negativen Punktladung bewegt. Da sich die negativen Ladungen gegenseitig abstoßen, muss dazu eine Arbeit W verrichtet werden. Die Probeladung erhält dadurch potenzielle Energie. Lässt man die Probeladung los, so bewegt sie sich wegen der abstoßenden Kräfte wieder von der Punktladung weg. D.h., die potenzielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.

Beispiel

Die negative Probeladung bewege sich nun auf eine positive Punktladung zu. Da sich die Ladungen anziehen, erfolgt diese Bewegung aus eigenem Antrieb, d.h. die Probeladung besitzt im Unendlichen potenzielle Energie, welche in kinetische Energie umgesetzt wird. Dies ist der umgekehrte Fall zum oberen Beispiel.

Die ungleichnamigen Ladungen verhalten sich im elektrischen Feld genauso wie Massen im Gravitationsfeld, die sich ja ebenfalls anziehen. Dieser Vorgang ist also vergleichbar einem Gegenstand, der aus großer Entfernung auf die Erde herabfällt.

Arbeitsauftrag

Berechnen Sie die Energie, die notwendig ist, um zwei Elektronen aus unendlicher Entfernung auf einen Abstand r aneinander anzunähern, mit

  1. r = 1 m
  2. r = 1 mm
  3. r = 1 Angström = 10 10 m

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