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Reibung

Lösungen

1. Aufgabe

Wenn die Neigung α der Ebene gerade so groß ist, dass sich der Wagen in Bewegung setzt, sind Hangabtriebskraft und Haftreibungskraft entgegengesetzt gleich groß, so dass eigentlich ein Kräftegleichgewicht herrschen sollte. In dem Moment jedoch, in dem der Betrag der Hangabtriebskraft den Betrag der maximalen Haftreibungskraft erreicht oder überschreitet, verschwindet die Haftreibungskraft und wird durch die kleinere Gleitreibungskraft ersetzt. Deshalb wird der Wagen mit einer Hangabtriebskraft beschleunigt, deren Betrag sich aus der Differenz von maximaler Haftreibungskraft und maximaler Gleitreibungskraft ergibt:

F beschl. = F H F G = ( f H f G ) G cos α

2. Aufgabe

Abb.1

Aus sin α = F H G erhält man die Hangabtriebskraft:

F H = sin α G

Aus cos α = F N G erhält man die Normalkraft:

F N = cos α G

Um mit konstanter Geschwindigkeit zu rollen, gilt für die an der Kugel angreifenden Kräfte:

F H + F R = 0

Für die Beträge gilt dann entsprechend:

F H = F R sin α G = f R R r cos α G tan α = f R R r α = arctan ( f R R r ) = arctan ( 1,5 10 3 m 0,01 m ) = 8,5 °

Für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit muss also der Neigungswinkel α = 8 ° betragen. Für größere Winkel ergibt sich eine beschleunigte Bewegung.

3. Aufgabe

a) Ohne die Zugkraft würde der Körper die Ebene beschleunigt hinuntergleiten. Um dies zu verhindern, gibt es zwei Möglichkeiten:

1.) Die Zugkraft ist klein. Dann zeigen Zug- und Reibungskraft in die gleiche Richtung.

Abb.2

Es gilt:

F + F R + F H = 0

Für die Beträge gilt entsprechend:

F + F R = F H

Aus der Zeichnung erhält man:

sin α = F H G

Damit gilt für die Hangabtriebskraft:

F H = sin α G

Für die Normalkraft des Körpers auf die Ebene gilt:

F N = cos α G

Für die Reibungskraft, hier ist diese die maximale Haftreibungskraft, gilt:

F R = f R F N

Damit berechnet man die Zugkraft wie folgt:

F = F H F R = sin α G f R cos α G = sin ( 30 ° ) 2 N 0,4 cos ( 30 ° ) 2 N = 0,153 N

Der minimale Wert der Zugkraft ist 0,15 N .

2.) Die Zugkraft ist groß. Dann zeigt die Reibungskraft in die gleiche Richtung wie die Hangabtriebskraft.

Abb.3

Es gilt:

F + F R + F H = 0

Für die Beträge gilt entsprechend:

F = F R + F H

Damit kann man die Kraft direkt berechnen:

F = f R cos α G + sin α G = 0,4 cos ( 30 ° ) 2 N + sin ( 30 ° ) 2 N = 1,69 N

Die maximale Zugkraft beträgt 1,69 N .

Der Wert der minimalen Zugkraft beträgt 0,15 N und der Wert der maximalen Zugkraft beträgt 1,69 N .

b) Abgesehen vom veränderten Winkel geht man vor wie oben. Man berechnet die Zugkraft für den ersten Fall:

F = F H F R = sin α G f R cos α G = sin ( 20 ° ) 2 N 0,4 cos ( 20 ° ) 2 N = 0,68 N ( 0,75 N ) = 0,07 N

Da die maximale Reibungskraft größer ist, als die Hangabtriebskraft, ist die minimale Zugkraft F = 0 N .

Beim zweiten Fall geht man wieder wie oben vor. Damit kann man die Kraft direkt berechnen:

F = f R cos α G + sin α G = 0,4 cos ( 20 ° ) 2 N + sin ( 20 ° ) 2 N = 0,75 N + 0,68 N = 1,43 N

Die maximale Zugkraft beträgt 1,43 N .

Insgesamt erhält man den minimalen Wert der Zugkraft F min = 0 N und den maximalen Wert F max = 1,43 N .

4. Aufgabe

a)

Abb.4

Damit der Fallschirmspringer mit konstanter Geschwindigkeit fällt, muss die Gewichtskraft entgegengerichtet gleich zum Strömungswiderstand sein. Die Beträge von beiden müssen also gleich groß sein.

F w = c w 2 A ρ v 2 F w = m g F w = F G

Eingesetzt und aufgelöst erhält man die Geschwindigkeit:

v = 2 m g c w A ρ = 2 m g c w π r ² ρ = 2 90 kg 9,81 m s-2 2 π ( 1,8 m ) 2 1,29 kgm-3 8,2 ms-1

Die Endgeschwindigkeit des Fallschirmspringers beträgt v = 8,2 ms-1 .

b) Um die Höhe zu berechnen, benutzt man die Formeln zur Berechnung linearer Bewegungen (siehe Lerneinheit Kinematik). Damit erhält man:

h = 1 2 a t 2
v = a t

Im vorliegenden Beispiel ist die Beschleunigung a gleich der Erdbeschleunigung g = 9,81 m s-2 Die zweite Gleichung löst man nach der Zeit auf und setzt sie in die erste ein.

h = 1 2 g ( v g ) 2 = 1 2 v ² g = 1 2 ( 8,2 ms-1 ) 2 9,81 m s-2 3,4 m

Um die gleiche Endgeschwindigkeit wie bei einem Fallschirmsprung zu erreichen, muss die Sprunghöhe 3,4 m betragen.

c) Wie in Teilaufgabe a) sind die Gewichtskraft und der Strömungswiderstand entgegengesetzt gleich groß. Ihre Beträge sind gleich. Damit erhält man:

A = 2 m g c w ρ v 2 = 2 750 kg 9,81 m s-2 2 1,29 kgm-3 ( 9 ms-1 ) 2 = 70,4 m2

Die Fläche des Fallschirms muss 70,4 m2 betragen, um den Jeep sicher auf den Boden zu bringen.

5. Aufgabe

Da das Auto mit konstanter Geschwindigkeit fahren soll, muss die Antriebskraft genauso groß sein wie die Rollreibungskraft und die Luftwiderstandskraft zusammen.

F + F W + F R R = 0    ⇒    F = F W + F R R

Für die Beträge gilt dann:

F = F w + F RR

Hierfür benötigt man folgende Kräfte:

Die Rollreibungskraft und die Normalkraft , die in diesem Fall gleich der Gewichtskraft ist sowie die Luftwiderstandskraft :

F RR = 1 r f RR F N
F N = F G = m g
F w = c w 2 A ρ v 2

Für die Geschwindigkeit v = 50 kmh-1 13,9 ms-1 erhält man:

F 50 kmh-1 = 1 r f RR m g + c w 2 A ρ v 2 = 1 0,25 m 0,0075 m 1000 kg 9,81 m s-2 + 0,4 2 1,9 m2 1,29 kgm-3 ( 13,9 ms-1 ) 2 = 294,3 N + 94,7 N = 389 N

Die Antriebskraft für die Geschwindigkeit v = 50 kmh-1 beträgt 389 N .

Für die Geschwindigkeit v = 100 kmh-1 27,8 ms-1 erhält man:

F 100 kmh-1 = 1 r f RR m g + c w 2 A ρ v 2 = 1 0,25 m 0,0075 m 1000 kg 9,81 m s-2 + 0,4 2 1,9 m2 1,29 kgm-3 ( 27,8 ms-1 ) 2 = 294,3 N + 378,8 N = 673,1 N

Die Antriebskraft für die Geschwindigkeit v = 100 kmh-1 beträgt 673 N .

Für die Geschwindigkeit v = 150 kmh-1 41,7 ms-1 erhält man:

F 150 kmh-1 = 1 r f RR m g + c w 2 A ρ v 2 = 1 0,25 m 0,0075 m 1000 kg 9,81 m s-2 + 0,4 2 1,9 m2 1,29 kgm-3 ( 41,7 ms-1 ) 2 = 294,3 N + 852,4 N = 1146,7 N

Die Antriebskraft für die Geschwindigkeit v = 150 kmh-1 beträgt 1147 N .

6. Aufgabe

Abb.5

Da die Zugkraft nicht parallel zur Unterlage ist, muss man sie in ihre Komponenten zerlegen - in die zur Ebene senkrechte F Z⊥ und in die zur Ebene parallele F Z∥ . Die resultierende, beschleunigende Kraft setzt sich zusammen aus der Reibungskraft und dem parallelen Anteil der Zugkraft.

F res = F R + F Z∥

Für die Beträge ergibt sich entsprechend:

F = F R + F Z∥

Der parallele Anteil der Zugkraft ist:

F Z∥ = cos ( 30 ° ) F Z

Für die Reibungskraft gilt unter Verwendung der Normalkraft:

F R = f R F N

Im vorliegenden Beispiel erhält man die Normalkraft aus der Gewichtskraft und dem senkrechten Anteil der Zugkraft:

F N = G + F Z⊥

Für die Beträge gilt entsprechend:

F N = G F Z⊥

Den senkrechten Anteil der Zugkraft erhält man aus:

sin ( 30 ° ) = F Z⊥ F Z

Insgesamt ergibt sich für die resultierende Kraft F res :

F res = f R ( m g F Z⊥ ) + F Z∥ F res = f R ( m g sin ( 30 ° ) F Z ) + cos ( 30 ° ) F Z F res = 0,6 ( 2 kg 9,81 m s-2 sin ( 30 ° ) 20 N ) + cos ( 30 ° ) 20 N 11,6 N

Damit kann man die Beschleunigung berechnen:

a = F res m = 11,6 N 2 kg 5,8 m s-2

Der Körper wird mit a 5,8 m s-2 beschleunigt.

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