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Kraft

Aufgaben

Arbeitsauftrag : Auf der Autobahn

Abb.1

Auf der Autobahn fährt ein Sattelschlepper, der 6 PKW geladen hat, mit einer Geschwindigkeit von 80 kmh-1 . Überholt wird er von einem PKW mit 160 kmh-1 . Der leere LKW wiegt etwa das 8-fache eines PKW. Alle PKW seien baugleich.

Warum braucht der LKW eine sehr viel stärkere Bremsanlage als der PKW, um ungefähr denselben Bremsweg zu erreichen, obwohl er viel langsamer unterwegs ist? Versuchen Sie abzuschätzen, wie stark die Bremsanlage des LKW im Vergleich zum PKW sein muss.

Es gilt für die Masse des beladenen LKW:

m LKW = 14 m PKW

sowie:

υ LKW = 1 2 υ PKW

Ein sinnvolles Maß für die Stärke der Bremsanlage ist die Kraft, die notwendig ist, um das Fahrzeug zum Stillstand zu bringen.

Mit F = m a und s = 1 2 a t 2 und υ = a t ergibt sich m υ 2 2 s :

F PKW = m PKW υ 2 PKW 2 s F LKW = m LKW υ 2 LKW 2 s = 14 m PKW ( υ PKW 2 ) 2 2 s = 3,5 F PKW

Ergebniss: Die Bremsanlage des LKW muss 3,5-mal stärker sein.

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Arbeitsauftrag : 1. Aufgabe

Ein Auto der Masse m = 950 kg fährt mit der Geschwindigkeit υ = 70 kmh-1 auf eine Wand. Nach der Zeit Δ t = 0,03 s steht das Fahrzeug. Welche Kraft F muss die Wand während des Aufpralls mindestens aufnehmen?

Die Wand nimmt zusammen mit dem Untergrund einen Impuls vom Wert Δ p = m υ = 950 kg 70 kmh-1 auf. Diese erfolgt in der Zeit Δt = 0,03 s . Und daraus erhält man die Kraft als Impulsänderung pro Zeit zu:

F = Δ p Δt = m υ Δt = 950 kg 70 km s-1 0,03 s 3,6 = 615,7 kN

Die Wand muss also mindestens eine Kraft von 615,7 kN aufnehmen.

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Arbeitsauftrag : 2. Aufgabe

Abb.2

Die drei Körper der Massen m1 = 100 g , m2 = 100 g , m3 = 150 g können sich reibungsfrei bewegen. Der Winkel sei α = 30 ° . Welche Beschleunigung erfahren die drei Körper? Und in welche Richtung wirkt sie?

Gefragt ist nach der Beschleunigung a des gesamten Körpersystems, also nach der Kraft, die auf alle drei Körper wirkt und die sich in Formeln so ausdrückt:

F = ( m1 + m2 + m3 ) a

Neben dieser Kraft sind noch zwei andere Kräfte zu betrachten:

1. Die Gewichtskraft, die auf den Körper mit der Masse m1 wirkt:

G = m1 g

Sie beschleunigt den Körper nach links.

2. Die aus der Gewichtskraft resultierende Kraft, die auf den Körper mit der Masse m3 wirkt:

FG = m3 sin α g

Diese Kraft beschleunigt den Körper nach rechts.

Die beiden Kräfte wirken also jeweils in die entgegengesetzte Richtung. Die daraus resultierende Kraft ist die gesuchte.

G FG = F m1 g m3 sin α g = ( m1 + m2 + m3 ) a a = m1 m3 sin α m1 + m2 + m3 g = 100 g 150 g sin ( 30 ° ) 100 g + 100 g + 150 g 9,81 m s-2 = 0,7 m s-2

Die Körper werden mit a = 0,7 m s-2 nach links beschleunigt.

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Arbeitsauftrag : 3. Aufgabe

Abb.3

Ein Pendel mit einer Kugel der Masse m = 50 g , das an einem Faden der Länge l = 0,5 m hängt, beschreibt einen Kreis mit dem Radius r = 20 cm . Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω der Kugel?

Abb.4

Nach dem Satz von Pythagoras ergibt sich:

a = l 2 - r 2

Aus dem unteren Dreieck folgt mit FG = m g und Fz = m ω 2 r :

tan α = FG Fz

Den Tangens drückt man mit Hilfe des oberen Dreiecks aus und erhält:

tan α = a r = l 2 - r 2 r

Dies oben eingesetzt ergibt:

l 2 r 2 r = m g m ω 2 r

Nach der Winkelgeschwindigkeit aufgelöst ergibt dies:

ω = g l 2 r 2 = 9,81 m s-2 ( 0,5 m ) 2 ( 0,2 m ) 2 = 4,63 s-1

Die Winkelgeschwindigkeit ist demnach 4,63 s-1 .

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Arbeitsauftrag : 4. Aufgabe

Kann ein Satellit, der in einer bestimmten Höhe h über der Erde kreist, eine beliebige Bahngeschwindigkeit besitzen? Wenn nicht, wie groß ist seine Bahngeschwindigkeit auf der kreisförmigen Umlaufbahn der Höhe h ? Wie hängt seine Bahngeschwindigkeit von der Masse ab?

Rechnen Sie zuerst und veranschaulichen Sie sich dann den Sachverhalt mit Hilfe des JPAKMA-Projekts.

Abb.5
JPAKMA-Projekt: Satellit

Es wirken zwei Kräfte, die den Satelliten auf seiner Bahn halten:

  1. die Gewichtskraft FG = G m M / r 2 mit der Masse des Satelliten m, der Erdmasse M und r = R + h mit dem Erdradius R und der Höhe über der Erde h
  2. die Zentrifugalkraft F z = m ω 2 r

Der Satellit bleibt auf seiner Bahn, wenn zwischen diesen beiden Kräften ein Gleichgewicht herrscht. Dies ist in einer bestimmten Höhe nur mit der dazugehörigen Bahngeschwindigkeit möglich.

Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

v = ω r

Setzt man das Kräftegleichgewicht mit der Bahngeschwindigkeit an, erhält man:

G m M r 2 = m v 2 r

Diese Gleichung kann man nach der Bahngeschwindigkeit v auflösen und erhält:

v = G M r

Die Bahngeschwindigkeit hängt also nicht von der Masse des Satelliten ab.

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Arbeitsauftrag : 5. Aufgabe

Versuchen Sie eine anschauliche Begründung dafür zu geben, dass sich bei einer Kreisbewegung

a) bei einer Verdopplung der Winkelgeschwindigkeit die Zentripetalbeschleunigung vervierfacht.

b) bei einer Verdopplung des Radius die Zentripetalbeschleunigung verdoppelt.

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