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Kraft

Kreisbewegung

Bei Kreis- und Kurvenbewegungen treten Kräfte auf, deren Richtung sich von der Fortbewegungsrichtung unterscheiden, d.h. die Beschleunigung a ( t ) und die Bahngeschwindigkeit v ( t ) zeigen in unterschiedliche Richtungen. Demzufolge verursacht die Beschleunigung nicht (nur) eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrages, sondern eine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung. Auch die mit einer Kreis- oder Kurvenbewegung verbundenen Kräfte sind uns bereits begegnet, z.B. im Falle des Kegelpendels. Diese Kräfte sollen hier noch einmal genauer, d.h. qualitativ betrachtet werden. Die Größen Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung sind uns bereits aus dem Kinematikmodul bekannt.

Arbeitsauftrag

JPAKMA-Projekt: Ball auf Kreisbahn

Geschwindigkeit

Die Bahngeschwindigkeit des Körpers erhält man wie üblich durch Ableiten des Ortes nach der Zeit:

v ( t ) = d r ( t ) d t = d d t ( sin ( ϕ ( t ) ) cos ( ϕ ( t ) ) )

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist definiert als Änderung des Winkels pro Zeit, also:

ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein axialer Vektor (d.h. ausgezeichnet durch Länge, Richtung und Drehsinn), dessen Richtung die Drehachse angibt und zwar so, dass die gekrümmten Finger der rechten Hand in Drehrichtung zeigen, wenn der Daumen in Richtung von ω zeigt (Rechte-Hand-Regel). Die Länge gibt an, wie schnell sich der Winkel ändert.

Die Winkelgeschwindigkeit steht immer senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit und dem Ortsvektor:

v ( t ) = ω ( t ) × r ( t )

Beschleunigung

Die Beschleunigung bei der Kreisbewegung erhält man, wenn man die Änderung der Geschwindigkeit Δ v ins Verhältnis zur zugehörigen Zeit Δ t setzt und den Grenzwert für Δ t 0 bildet, also kurz durch eine weitere Differentiation nach der Zeit:

a ( t ) = d v ( t ) d t = R d ϕ ( t ) d t ω ( t ) ( cos ( ϕ ( t ) ) sin ( ϕ ( t ) ) ) + R d ω ( t ) d t ( sin ( ϕ ( t ) ) cos ( ϕ ( t ) ) )

Die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit nennt man die Winkelbeschleunigung α ( t ) . Für sie gilt:

α ( t ) = d ω ( t ) d t = d d t ( d ϕ ( t ) d t ) = d 2 ϕ ( t ) d t 2

Man kann die Beschleunigung der Kreisbewegung zerlegen in Normal- und Tangentialkomponente:

a = a normal + a tangential

Die Normalkomponente der Beschleunigung verursacht eine Änderung der Richtung und die Tangentialkomponente eine Änderung des Betrages der Geschwindigkeit. Die Normalkomponente ist der Grund dafür, dass sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt und nicht tangential wegfliegt.

Zentripetalbeschleunigung
Man nennt diesen Anteil auch die Zentripetalbeschleunigung a Z . Sie zeigt immer in Richtung Kreismittelpunkt und man kann sie folgendermaßen berechnen:
a Z = ω ( t ) × v ( t ) = ω ( t ) × ( ω ( t ) × r ( t ) ) = ω ( t ) 2 r ( t )
Gleichförmige Kreisbewegung

Bewegt sich ein Körper mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer Kreisbahn, so ergibt eine entsprechende Vektorkonstruktion zu zwei Zeitpunkten t1 und t2, dass der Vektor der Geschwindigkeitsdifferenz Δ v zwischen den zwei Zeitpunkten genau in die Kreismitte zeigt. Diese Vektorkonstruktion haben wir bereits weiter oben durchgeführt.

Abb.2

Man sieht also, dass im Spezialfall der konstanten Kreisbewegung der Beschleunigungsvektor genau senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet ist, d.h. die Beschleunigung besitzt nur eine Normalkomponente a = a normal .

Ungleichförmige Kreisbewegung

Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn und wird dabei schneller. Wie verhält sich der Beschleunigungsvektor in diesem Fall? Dazu betrachten wir wieder die Momentangeschwindigkeiten und deren Differenzvektor zu zwei kurz aufeinander folgenden Zeitpunkten.

Abb.3

Die Geschwindigkeitsdifferenz, und damit auch die Beschleunigung, zeigt jetzt nicht mehr zum Kreismittelpunkt, sondern daran vorbei. Der Grund hierfür ist, dass es neben der Normalkomponente a normal der Beschleunigung eine Tangentialkomponente a tangential gibt. Dies wird leicht deutlich, wenn man den Vektor der Geschwindigkeitsdifferenz bzw. der Beschleunigung in seine Normal- und Tangentialkomponente zerlegt.

Abb.4

Die Tangentialkomponente a tangential der Beschleunigung ist dafür verantwortlich, dass der Körper auf seiner Kreisbahn schneller wird, d.h. dass der Betrag seiner Geschwindigkeit mit der Zeit ansteigt.

Kegelpendel

Auch beim Kegelpendel haben wir gesehen, dass die Momentanbeschleunigung immer zum Mittelpunkt der Ellipse zeigt. Die Zerlegung des Beschleunigungsvektors in seine Komponenten tangential und senkrecht zur Bahn (zu einem beliebigen Zeitpunkt) zeigt, dass beide Komponenten a normal und a tangential ungleich null sind.

Abb.5

Das bedeutet, dass der Körper auf der Ellipsenbahn einerseits eine Beschleunigung a normal erfährt, die ihn auf seiner krummen Bahn hält. Andererseits verursacht die Komponente a tangential in Geschwindigkeitsrichtung eine Änderung des Betrages der Geschwindigkeit. Anhand des Videos kann man sich leicht veranschaulichen, dass der Körper auf der Ellipsenbahn seine Geschwindigkeit (genauer: den Betrag der Geschwindigkeit) ändert.

Abb.6

Video zum Kegelpendel

Zentripetalkraft

Die Kraftkomponente, die die Zentripetalbeschleunigung aufbringt, heißt Zentripetalkraft. Das heißt, die Zentripetalkraft hält einen Körper auf seiner krummen Bahn, bzw. im Speziellen auf einer Kreisbahn.

Zentripetalkraft
Die so genannte Zentripetalkraft
FZ = m a Z = m ω ( t ) × v ( t ) = m ω ( t ) × ( ω ( t ) × r ( t ) ) = m ω ( t ) 2 r ( t )
hält einen Körper auf seiner Bahn. Sie wirkt wie die Zentripetalbeschleunigung in Richtung des Kreismittelpunkts.
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