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Kraft

Gravitation

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse gegenseitig an. Dieser Vorgang wird Gravitation genannt. Für zwei Körper gilt: Die Gravitationskraft ist proportional zu den Massen der beiden Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Körper (wobei die Körper hier zunächst als punktförmig idealisiert werden). Die Gravitationskraft, die auf einen der Körper wirkt, zeigt in Richtung des jeweils anderen. Die Proportionalitätskonstante heißt Gravitationskonstante G und hat den Wert G 6,67 10 11 m3 kg-1 s-2 .

F = G m1 m2 r 2 r0

Im täglichen Leben erfahren wir einen Sonderfall dieser Gravitationskräfte: die Erdanziehungskraft. Sie wirkt auf jeden Körper und wird auch als Gewichtskraft des Körpers bezeichnet. Zur Vereinfachung denken wir uns, die gesamte Masse der Erde sei in ihrem Mittelpunkt vereint. Wir fassen im Gravitationsgesetz die Erdmasse, den Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche der Erde und die Gravitationskonstante zu einer neuen Konstante zusammen. Dann erhalten wir für die Erdanziehungskraft auf einen Körper der Masse m:

F = m G mErde rErde 2 r0 = m g

g ist die so genannte Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche. Das Gravitationsgesetz gilt in dieser Form auch für die weniger starke Vereinfachung der Erde als Kugel mit homogener Massenverteilung.

Beispiel-Aufgabe

Berechnen Sie den Wert der Erdbeschleunigung g mit einem mittleren Äquatorradius der Erde von 6378 km und der Erdmasse von 5,98 10 24 kg (bei Annahme einer mittleren Dichte):

g = G mErde rErde 2 = 6,67 10 11 m3 5,98 10 24 kg kg s2 ( 6,378 10 6 m ) 2 9,805 m s-2

Nennen Sie mehrere Gründe, warum die Erdbeschleunigung keine Konstante ist!

  • Nach dem Gravitationsgesetz nimmt die Erdanziehung mit zunehmenden Abstand vom Erdmittelpunkt ab. Da die Erde nicht kreisrund ist, ist die Erdbeschleunigung nicht überall gleich groß.
  • Die Masse der Erde ist nicht in ihrem Mittelpunkt vereint, sondern verteilt sich auf ihr gesamtes Volumen. Da die Erde keine homogene Kugel ist, sondern eine inhomogene Massenverteilung besitzt (z.B. Gebirge, Meere), kann die Massenanziehung abhängig vom Standort variieren.
  • Ein Teil der Gravitationskraft wird gebraucht, um den Körper auf seiner Kreisbahn zu halten. Man sagt oft auch: wegen der Drehung der Erde wirken auf einen Körper an ihrer Oberfläche Fliehkräfte. Dies wird in den Kapiteln zur Drehbewegung und den Scheinkräften näher beschrieben. Die resultierende, anziehende Kraft hängt also vom Breitengrad ab und ist am Äquator geringer als an den Polen.

Diese Effekte sind jedoch vergleichsweise gering, so dass sie oft vernachlässigt werden können. Man rechnet dann mit einem mittleren Wert von g = 9,81 m s-2 und wählt als Richtung von g den Erdmittelpunkt.

Beispiel

Welche Gewichtskraft wirkt auf ein Physikbuch der Masse m = 500 g ? Welche Beschleunigung erfährt das Buch im Schwerefeld der Erde?

Gewichtskraft:

FG = m g = 0,5 kg 9,81 m s-2 4,9 N

Beschleunigung:

F = m a

mit

F = FG

ergibt

m a = m g a = g a = g 9,81 m s-2

Das bedeutet: Die Erdbeschleunigung ist in einem bestimmten Abstand vom Erdmittelpunkt für alle Körper - unabhägig von ihrer Masse - gleich.

Träge und Schwere Masse

Im vorangegangenen Beispiel wurde die Schwerkraft eines Körpers Fschwer = mschwer g , sowie die Beschleunigungswirkung der Kraft Fbeschl. = mbeschl. a betrachtet und davon ausgegangen, dass die Masse in beiden Gesetzen denselben Betrag besitzt.

Die Masse mschwer wird auch als "Schwere Masse" bezeichnet und ist die Masse, die an der Gravitation beteiligt ist.

Die Masse mbeschl. wird "Träge Masse" genannt und ist die Masse, die beschleunigt wird. Beispielsweise erfahren zwei Körper gleicher Träger Masse - der eine aus Eisen, der andere aus Styropor - bei gleicher Krafteinwirkung die gleiche Beschleunigung.

Wir haben also zwei scheinbar völlig unterschiedliche Vorgänge, die Gravitation und die Beschleunigung, die äquivalenten Gesetzmäßigkeiten folgen. Tatsächlich gibt es nach heutigem Erkenntnisstand keinen Unterschied zwischen der Trägen Masse und der Schweren Masse, d.h. es gilt:

mschwer = mbeschl.
Schiefe Ebene

Es soll die Beschleunigung eines Körpers der Masse m bestimmt werden, der eine schiefe Ebene reibungslos hinuntergleitet, die um den Winkel α gegen die Horizontale geneigt ist.

Abb.1

Da die schiefe Ebene dem Körper eine bestimmte Richtung aufzwingt, zerlegt man die wirkenden Kräfte in Komponenten senkrecht und tangential zur Ebenenrichtung. Die senkrechte Komponente wird als Normalkraft bezeichnet und die Tangentialkomponente als Hangabtriebskraft.

Abb.2

Die wirkenden Kräfte in diesem Beispiel sind die Gewichtskraft FG des Körpers, welche nach unten zeigt, sowie eine Kompensationskraft FN von der schiefen Ebene. Würde nur die Gewichtskraft wirken, dann würde der Körper ja nach unten fallen.

Die Zerlegung der Gewichtskraft ergibt für den Betrag der Normalkraft FN und den Betrag der Hangabtriebskraft FH :

FN = FG cos ( α ) = m g cos ( α ) FH = FG sin ( α ) = m g sin ( α )

Hierbei ist m die Masse des Körpers und g die Erdbeschleunigung.

Die Normalkraft FN wird, wie im Beispiel "Tisch und Stein", von der schiefen Ebene zu null kompensiert, so dass sich der Körper in senkrechter Richtung zur Ebene nicht bewegt. Die Hangabtriebskraft FH beschleunigt den Körper entlang der Ebene nach unten. Es gilt also für den Betrag der Hangabtriebskraft:

FH = m g sin ( α ) = m a

Und für den Betrag der Beschleunigung:

a = g sin ( α )

Extremfälle:

Für α = 0 ist a = 0 , da die Ebene dann waagerecht liegt.

Für α = 90 ° ist a = g , da die Ebene dann senkrecht steht und der Körper frei nach unten fällt.

Die Situation mit Reibung wird im folgenden Kapitel besprochen.

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