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Kraft

Hinführung zur Kraftdefinition - Teil II

Bisher haben wir den vektoriellen Charakter des Impulses und der Impulsänderung unbeachtet gelassen, indem wir eindimensionale Beispiele betrachtet haben. Es liegt jedoch nahe, die Kraft ebenfalls als Vektor zu betrachten und unsere Proportionalitätsbetrachtungen auf Impulsänderungsvektoren und Kraftvektoren auszuweiten. In den vorangegangenen Beispielen zeigten Kraft und Impulsänderung in dieselbe Richtung, so dass die Vektorschreibweise vernachlässigt werden konnte. Im folgenden zweidimensionalen Beispiel muss der Vektorcharakter berücksichtigt werden.

Ball auf Kreisbahn I

Eine Gruppe von Schülern oder Studenten stellt sich in einem Kreis auf. Eine Person rollt von außen einen Ball in tangentialer Richtung auf den Kreis zu. In welche Richtung müssen die im Kreis Stehenden dem Ball jeweils einen Stoß versetzen, damit er sich entlang des Kreises weiterbewegt?

Abb.1

Lösung:

Die gefragte Richtung ist die Richtung der Kraft, die notwendig ist, um den Ball auf der Kreisbahn zu halten - sie ist immer zum Mittelpunkt hin gerichtet und muss außerdem immer gleich "stark" sein, d.h. einen konstanten Betrag besitzen.

Ball auf Kreisbahn II

Betrachten wir nun die Impulsänderung bzw. - da die Masse des Balles konstant ist - die Geschwindigkeitsänderung. Hierzu zeichnet man die Momentangeschwindigkeiten des Balles auf der Kreisbahn zu zwei Zeitpunkten t und t + Δ t . In beiden Fällen ist der Vektor der Momentangeschwindigkeit gleich lang und jeweils tangential zur Bahn gerichtet. Konstruiert man nun die Vektordifferenz Δ v der Geschwindigkeiten v 1 und v 2 zu zwei Zeitpunkten und trägt sie in der Mitte zwischen den beiden Orten ab, so erkennt man, dass diese immer zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist.

Im Falle der Kreisbahn ist also die Kraft immer zum Mittelpunkt gerichtet und betragsmäßig konstant. Dasselbe gilt für die Geschwindigkeitsänderung und damit auch für die Impulsänderung. Somit sind in diesem Beispiel Kraft, die die Schüler auf den Ball ausüben, und Impulsänderung proportional.

Während in bisherigen Beispielen entweder die Richtung (Fahrbahnwagen) oder der Betrag (Kreisbahn) der Kraft konstant war, soll zum Abschluss dieser Betrachtungen nun ein allgemeineres Beispiel gezeigt werden, bei dem sich sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft ändern - das Kegelpendel.

Kegelpendel
Abb.6

Ein Kegelpendel besteht - wie ein herkömmliches Fadenpendel - aus einem Körper, der an einem Faden hängt. Es pendelt jedoch nicht nur in einer Ebene, sondern auf einer Raumkurve. Erreicht wird dies, indem man das Fadenpendel auslenkt und dann nicht einfach loslässt, sondern ihm eine Geschwindigkeitskomponente gibt, die nicht zum Ruhepunkt gerichtet ist.

Auch hier wollen wir, zumindest qualitativ, den Zusammenhang zwischen Kraft und Impulsänderung erörtern.

Der Pendelkörper bewegt sich auf einer Kurve im Raum, die eine Art gekrümmte Ellipse beschreibt. Im Spezialfall des linearen Fadenpendels wird die Kurve zu einem Kreisbogen und im Spezialfall des Kreiskegels zu einem Kreis. Der Einfachheit halber wollen wir nur die Projektion der Bahnkurve auf eine waagerechte Ebene betrachten.

Der Geschwindigkeitsvektor des Pendelkörpers zeigt zu jedem Zeitpunkt tangential zur Bahnkurve. Konstruiert man - wie beim Beispiel der Kreisbahn - für zwei aufeinander folgende Zeitpunkte die Vektordifferenz Δ v , so zeigt diese zum Mittelpunkt der Bahnkurve.

Nun betrachten wir die Kraft, die auf den Pendelkörper wirkt - seine Gewichtskraft. Diese lässt sich vektoriell zerlegen in eine Komponente in Seilrichtung, die keinen Beitrag zur Geschwindigkeitsänderung leistet, in eine Komponente tangential zur Bahnkurve, die den Betrag der Geschwindigkeit verändert, und in eine Komponente senkrecht zur Bahnkurve, die eine Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors bewirkt. In welche Richtung zeigt aber nun die Kraft? Dies lässt sich einfach feststellen, indem man das Pendel aus der Ruhelage heraus auslenkt und loslässt - es pendelt immer wieder zurück in die Ruhelage. Das heißt, in der Projektion auf die waagerechte Ebene zeigt die Kraft zum Mittelpunkt der Ellipse.

Das bedeutet: Auch im Fall des Kegelpendels zeigt die Impulsänderung in Richtung der Kraft.

JPAKMA-Projekt: Kegelpendel (Reproduktion einer Realmessung)

Das folgende JPAKMA-Projekt beruht auf einer realen Messung, bei der der Ort des Pendelkörpers in Zeitabständen von 80 ms registriert wurde. Aus den Messdaten werden durch Differenzbildung die Momentangeschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt ermittelt und als Vektorpfeil gezeichnet. Die Richtung der Beschleunigung bzw. der Kraft zeigt im Idealfall immer zur Mitte der Ellipse. Die Messwerte weichen aufgrund von unvermeidlichen Messfehlern etwas von diesen Idealwerten ab.

Video zum JPAKMA-Projekt:

Abb.8
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