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Kraft

Kraft und Impulsänderung

Neben der Dehnung einer Feder können wir im Zusammenhang mit Kräften im Alltag folgende Beobachtung machen: Wenn wir auf einen beweglichen Körper eine Kraft ausüben, indem wir ihm einen Stoß versetzen, dann setzt er sich in Bewegung.

Diesen Sachverhalt wollen wir genauer untersuchen. Wir haben bereits gelernt, dass sich bei einem Stoß der Impuls eines Körpers ändert. Wir betrachten deshalb anhand zweier Beispiele zunächst die Impulsänderung bei Bewegungen.

Da der Impuls p das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit υ ist, kann eine Änderung des Impulses Δ p auf zwei verschiedene Arten vorgenommen werden: Durch eine Änderung der Masse Δ m des Körpers oder durch eine Änderung seiner Geschwindigkeit Δ υ (oder beides):

Δ υ Δ p Δ m Δ p

Bei Wurf-, Fall- oder Stoßbewegungen ändert sich die Masse des bewegten Körpers in der Regel nicht und die Impulsänderung wird durch die Geschwindigkeitsänderung bestimmt (Beispiel 1: Flipperautomat). Die Rakete (Beispiel 2) ist ein Beispiel, bei der sich nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Masse ändert.

Mit Δ p ist der Vorgang allerdings noch nicht vollständig beschrieben, da es natürlich auch eine Rolle spielt, in welcher Zeit die Impulsübertragung stattfindet. Der Quotient aus der Impulsänderung Δ p und der zugehörigen Zeitspanne Δ t ist für sehr kleine Δ t die Ableitung des Impulses nach der Zeit:

Δ p Δ t = Δ t 0 d p d t
Flipperautomat

Beim Flipperautomaten startet man die Kugel, indem man eine Feder zusammendrückt und dann loslässt. Die auf der Feder liegende Kugel erfährt einen Stoß und bewegt sich ins Spielfeld. Da die Kugel vorher in Ruhe war, wurde ihr beim Loslassen der Feder ein gewisser Impuls übergeben.

Der Quotient aus Impulsänderung und zugehöriger Zeitspanne ist nach der Produktregel:

d p d t = d ( m υ ) d t = m d υ d t + d m d t υ

Wenn sich die Masse der Kugel nicht ändert, ist d m / d t = 0 . Der Ausdruck d υ / d t ist die Beschleunigung und kann kurz als a gekennzeichnet werden. Damit lässt sich die Gleichung auch schreiben als:

d p d t = m a

Das bedeutet: Solange die Feder die Kugel stößt, wird diese beschleunigt.

Rakete

Bei der Rakete ist die Masse nicht konstant, da sie ihren Treibstoff nach hinten ausstößt, um Geschwindigkeit zu gewinnen (Rückstoßprinzip).

Fliegt die Rakete der Masse m im leeren, kräftefreien Raum und stößt pro Zeit d t eine Treibstoffmasse dm mit der Geschwindigkeit u aus, so ist der Impuls der ausgestoßenen Masse u d m . Im Folgenden soll das Koordinatensystem in Flugrichtung der Rakete gerichtet sein. Außerdem können wir in diesem Beispiel auf die Vektorschreibweise verzichten, da es sich um einen eindimensionalen Vorgang in Flugrichtung der Rakete handelt, d.h. die Richtungen der vektoriellen Größen sind durch die Vorzeichen ausreichend bestimmt.

Abb.1
p Rakete = m d v p Treibstoft = u d m

Da der Gesamtimpuls konstant bleibt, muss die Rakete selbst den entgegengesetzt gleichen Impuls aufnehmen, der ihre Geschwindigkeit v um d v erhöht. Also gilt nach dem Ausstoß (im mitbewegten Koordinatensystem):

p Rakete + p Treibstoft = 0 m d v + u d m = 0 m d v = u d m

Für die Impulsänderung ergibt sich:

m ( t ) d v d t = u d m d t

Die Beschleunigung erhält man direkt aus der letzten Gleichung - sie ist dem Massenausstoß entgegengerichtet:

a = d v d t = u d m d t 1 m ( t )

Das bedeutet: Die Rakete wird umso stärker beschleunigt, je größer die Ausstoßgeschwindigkeit des Treibstoffs ist, je mehr Treibstoffmasse pro Zeiteinheit ausgestoßen wird und je leichter die Rakete dabei ist.

JPAKMA-Projekt: Rakete (Rückstoßprinzip)

In diesem JPAKMA-Projekt ist das eben behandelte Prinzip des Raketenantriebs in einer Animation umgesetzt.

Im Gegensatz zur Rechnung liegt hier kein kontinuierlicher Massenausstoß m ( t ) vor, sondern es wird auf Knopfdruck ein Massenelement dm ausgestoßen.

Machen Sie sich klar, wie sich der jeweils nächste Massenausstoß auf die Geschwindigkeit der Rakete auswirkt. Wie verändert sich die Geschwindigkeit in einer Zeitspanne, in der keine Masse ausgestoßen wird? Die Rakete fliegt im Weltall und erfährt daher keine Reibung, die Anziehung durch umliegende Planeten etc. wird hier nicht berücksichtigt.

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