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Lösung

a) Im Fall ohne Reibung treten die Hangabtriebskraft, die das Skateboard nach unten beschleunigt, und die Normalkraft, die es auf der Oberfläche hält, auf. Sie sind die Komponenten der Gewichtskraft.

b) Die Beschleunigung, mit der das Skateboard allein den Hang mit Steigung α hinunterfährt (siehe Skizze), ist durch die Größe der Hangabtriebskraft bestimmt:

Fhang = Fg sin ( α ) = m g sin ( α ) = m a
Abb.1

Also gilt a = g sin ( α ) und hier erhalten wir a = g sin ( α ) = 2,54 m s-2 . Wir sehen aber, dass die Beschleunigung unabhängig von der herabfahrenden Masse ist. Also ändert sich die Beschleunigung um 0 % , wenn die Masse auf dem Skateboard vergrößert wird. Wie können wir uns dies anschaulich klar machen? Angenommen wir verdoppeln die Masse, die die schiefe Ebene hinunterfährt. Dann wird auch die wirkende Gewichtskraft doppelt so groß wie vorher. Wenn aber die Gewichtskraft verdoppelt wird, so wird auch die Hangabtriebskraft verdoppelt. Da aber die Masse verdoppelt wurde, muss die Beschleunigung gleich bleiben. Für ihre beiden Komponenten Hangabtriebs- und Normalkraft heißt das ebenfalls, dass sie beide doppelt so groß werden. Wenn aber die Normalkraft die Masse mit doppelter Kraft auf die Unterlage drückt und die Hangabtriebskraft doppelt so groß ist, dann kann sich an der Beschleunigung nach unten nichts ändern.

c) Die Haftreibungskraft muss mindestens so groß sein wie die Hangabtriebskraft, also mindestens Fhang = Fg sin ( α ) = m g sin ( α ) = 7,62 N betragen.

d) Die Haftreibungskraft ist gegeben durch Fhaft = μ h FN , wobei FN die Normalkraft bezeichnet, mit der das Skateboard auf die Unterlage gedrückt wird. Daher erhält man:

Fhaft = μ h FN = μ h m g cos ( α )

Einfluss auf die Haftreibungskraft haben daher der Haftreibungskoeffizient, der durch die Unterlage bestimmt ist, die Gewichtskraft des Körpers, der bewegt wird, also seine Masse, und die Neigung der Ebene, auf der der Körper bewegt wird. Die Größen Koeffizient und Masse tragen direkt zu einer Veränderung der Haftreibungskraft bei. D.h. je kleiner Haftreibungskoeffizient und Masse sind, desto kleiner ist auch die Haftreibung. Die Größe der Steigung der Ebene α trägt in umgekehrtem Sinn zur Veränderung der Haftreibungskraft bei. Je größer die Steigung, desto kleiner wird die Haftreibung zwischen Skateboard und Erde, da die Kosinusfunktion zwischen 0 ° und 90 ° streng monoton fällt.

Abb.2

e) Die Zugkraft, die aufgewendet werden muss, um das Skateboard hinaufzuziehen, muss zuerst die Haftreibung überwinden und dann die Gleitreibung und die Hangabtriebskraft. Man berechnet die Haftreibungskraft zu:

Fhaft = μ g m g cos ( α ) = 0,9 3 kg 9,81 m s-2 cos ( 15 ° ) = 25,58 N

Die Gleitreibungskraft ist gegeben durch:

Fgleit = μ g FN = μ g m g cos ( α )

Man errechnet Fgleit = 22,74 N . Also müssen zu Beginn des Hinaufziehens mindestens 25,58 N aufgewandt werden Die Hangabtriebskraft haben wir vorhin bestimmt zu Fhang = 7,62 N . Ist das Skateboard in Bewegung, so müssen permanent 22,74 N + 7,62 N = 30,36 N aufgewandt werden, um das Skateboard hinaufzuziehen.

f) Wenn das Zugseil um den Winkel γ nach oben gespannt ist, so verringert sich die parallel zu den nach unten wirkenden Kräften wirkende Zugkraft um den Faktor cos ( γ ) . Wenn im Aufgabenteil e) die Zugkraft Fzug nach oben wirkte, so wirkt nun nur noch eine Zugkraft von Fzug,parallel = Fzug cos ( γ ) . Also muss die Zugkraft, die man aufbringen muss, um das Board nach oben zu ziehen, um den Faktor cos ( γ ) vergrößert werden, damit das Skateboard so wie im Aufgabenteil e) den Hang hinauffährt. Nur der zu den entgegenwirkenden Kräften parallel wirkende Anteil der Zugkraft leistet einen Beitrag zur resultierenden Kraft, die das Skateboard nach oben bewegt.