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Energie

Aufgaben

Arbeitsauftrag : 1. Aufgabe

Eine Kugel prallt zentral auf,

a) eine gleich schwere ruhende Kugel,

b) eine doppelt so schwere ruhende Kugel,

c) eine feste Wand,

d) eine gleich schwere Kugel, die ihr mit gleicher Geschwindigkeit entgegenkommt.

Alle diese Stöße sind elastisch. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit nach dem Stoß und die übertragenen Impulse und Energien.

a) Die Kugeln haben die gleichen Massen, also m 1 = m 2 = m und für die Geschwindigkeit der ruhenden Kugel gilt v 2 = 0 . Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß werden mit u und dem jeweiligen Körperindex bezeichnet.

Aus der Impulserhaltung bei elastischen Stößen folgt unter Verwendung von m 1 = m 2 :

p vorher = p nachher m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 1 u 2 v 1 = u 1 + u 2

Aus der Energieerhaltung ergibt sich unter Verwendung m 1 = m 2 :

E vorher = E nachher 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 v 1 2 = u 1 2 + u 2 2

Setzt man nun die erste Gleichung für die Geschwindigkeiten in die zweite Gleichung ein, so erhält man:

( u 1 + u 2 ) 2 = u 1 2 + u 2 2 u 1 2 + 2 u 1 u 2 + u 2 2 = u 1 2 + u 2 2 2 u 1 u 2 =0

Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss entweder u 1 oder u 2 gleich null sein. Eine Kugel muss also liegen bleiben. Da die erste Kugel nicht durch die zweite hindurchrollen kann, ist dies die erste.

Die gestoßene Kugel übernimmt also Geschwindigkeit, Impuls und Energie der stoßenden Kugel. Diese bleibt nach dem Stoß liegen.

b) Die ruhende Kugel hat die doppelte Masse, also m 1 = m und m 2 = 2 m 1 = 2 m und für die Geschwindigkeit der ruhenden Kugel gilt v 2 = 0 . Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß werden mit u und dem jeweiligen Körperindex bezeichnet.

Aus der Impulserhaltung bei elastischen Stößen folgt:

p vorher = p nachher m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 v 1 = m 1 u 1 + 2 m 1 u 2 v 1 = u 1 + 2 u 2 u 1 = v 1 2 u 2 ( 1 )

Mit der Energieerhaltung erhält man:

E vorher = E nachher 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 1 u 2 2 m 1 v 1 2 = m 1 u 1 2 + 2 m 1 u 2 2 v 1 2 = u 1 2 + 2 u 2 2 ( 2 )

Setzt man nun die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein, so erhält man:

v 1 2 = v 1 2 4 v 1 u 2 + 4 u 2 2 + 2 u 2 2 u 1 = 2 3 v 1

Die stoßende Kugel prallt mit 1 3 v ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit v zurück, die gestoßene Kugel erhält 2 3 v ; an die gestoßene Kugel gehen wegen der Impulserhaltung 4 3 des Impulses und 8 9 der Energie über.

c) Die Wand ist ein Stoßpartner mit unendlicher Masse. Aus der Energieerhaltung folgt, dass die Kugel nach dem Stoß vom Betrag die gleiche Geschwindigkeit haben muss wie vor dem Stoß. Da auch die Impulserhaltung gilt, muss die Wand Impuls aufnehmen.

p vorher = p nachher m v = p Wand + m ( v )

Also erhält die Wand zwar den Impuls p = 2 m v , aber keine Energie. Denn mit m gilt:

E Wand = p 2 2 m 0

Die Kugel prallt mit v zurück.

d) Die Kugeln haben die gleichen Massen m und vom Betrag die gleiche Geschwindigkeit v , wobei man bei der Geschwindigkeit auf die Richtung achten muss. Für die Impulserhaltung ergibt sich:

p vorher = p nachher m v + m ( v ) = m u 1 + m u 2

Das Minus bei der zweiten Geschwindigkeit steht für die entgegengesetzte Richtung:

u 1 = u 2

Entsprechend gilt für die Energien:

E vorher = E nachher 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 m u 1 2 + 1 2 m u 2 2 2 v 2 = u 1 2 + u 2 2 ( 2 )

Man setzt nun die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhält:

2 v 2 = ( u 2 ) 2 + u 2 2 v = u 2

Damit ist u 1 = v . Die Kugeln tauschen Geschwindigkeit, Impuls und Energie vollständig aus. Jede verhält sich so, als stoße sie gegen eine feste Wand.

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Arbeitsauftrag : 2. Aufgabe

Abb.1

Ein Spielzeugauto der Masse m = 75 g wird durch eine Feder beschleunigt. Wie weit muss die Feder mit der Federkonstanten D = 5 N cm-1 mindestens zusammengedrückt werden, damit das Auto einen Looping mit Radius r = 60 cm fahren kann?

Die Energie in der gespannten Feder überträgt sich auf das Auto. Sie muss mindestens genauso groß sein wie die potentielle Energie des Autos am höchsten Punkt des Loopings zuzüglich der kinetischen Energie für den Looping. Die Federenergie E F = 1 2 D x 2 wird also mit der Energie E ges = E pot + E kin gleichesetzt, die notwendig ist, um das Auto in die Höhe h = 2 r zu heben und ihm die notwendige kinetische Energie zur Aufrechterhaltung der Radialbewegung zu geben. Dabei gilt:

E pot = m g h = m g 2r E kin = 1 2 m v ²

Damit das Auto nicht aus der Bahn fällt, muss die Zentripetalkraft mindestens genau so gross wie die Gewichtskraft sein:

m v 2 r = m g v 2 = r g

Damit wird:

E kin = 1 2 m r g

Insgesamt ergibt sich also:

E ges = 2 m g r + 1 2 m g r = 5 2 m g r

Und weiter ergibt sich:

E F = E ges 1 2 D x 2 = 5 2 m g r x = 2 5 m g r 2 D = 5 0,075 kg 9,81 m s-2 0,6 m 500 Nm-1 0,063 m

Die Feder muss also mindestens um 6,3 cm gestaucht werden, damit das Auto den Looping schafft.

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Arbeitsauftrag : 3. Aufgabe

Eine Bleikugel der Masse m = 20 g werde mit einer Geschwindigkeit von v = 1500 kmh-1 in einen ruhend aufgehängten Bleiklotz der Masse M = 1 kg geschossen. Die Kugel bleibt nach dem Stoß im Bleiklotz stecken.

Welche Geschwindigkeit besitzt der Bleiklotz nach dem Stoß?

Bestimmen Sie den Anteil der kinetischen Anfangsenergie der Bleikugel, der in Wärme umgewandelt wurde!

Aus der Impulserhaltung folgt:

m v = ( M + m ) u

Damit erhält man die Geschwindigkeit nach dem Stoß zu:

u = m v M + m = 0,02 kg 417 ms-1 1 kg + 0,02 kg = 8,2 ms-1

Der Endkörper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = 8,2 ms-1 .

Die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß sind:

E vorher = 1 2 m v 2 = 1 2 0,02 kg ( 417 ms-1 ) 2 = 1738,9 J E nachher = 1 2 ( m + M ) u 2 = 1 2 1,02 kg ( 8,2 ms-1 ) 2 = 34,3 J

Die Energiedifferenz ist:

Δ E = E vorher E nachher = 1738,9 J 34,3 J = 1704,6 J

Und damit ist das Verhältnis von in Wärme umgesetzter Energie zur kinetischen Energie vor dem Stoß:

Δ E E vorher = 1704,6 J 1738,9 J = 0,98 = 98 %
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Arbeitsauftrag : 4. Aufgabe

Ein Skifahrer der Masse m = 70 kg startet aus der Ruhe von einem Hügel der Höhe h = 50 m und erreicht den Fuß des Hügels mit einer Geschwindigkeit von v = 20 ms-1 . Wie groß ist der Verlust an Energie?

Zu Beginn hat der Skifahrer die potentielle Energie:

E pot = m g h = 70 kg 9,81 m s-2 50 m = 34335 J

Am Fuß des Hügels angekommen hat er die kinetische Energie:

E kin = 1 2 m v 2 = 1 2 70 kg ( 20 ms-1 ) 2 = 14000 J

Der Energieverlust durch Reibung beträgt E pot E kin = 34335 J 14000 J = 20335 J .

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Arbeitsauftrag : 5. Aufgabe

Man lässt einen Stein der Masse m = 200 g von einem sehr hohen Turm fallen. Nachdem er 100 m gefallen ist, hat er eine Geschwindigkeit von v = 20 ms-1 . Wie groß ist die Energie, die an die Luft übertragen worden ist?

Zu Beginn hat der Stein eine potentielle Energie von:

E pot = m g h = 0,2 kg 9,81 m s-2 100 m = 196,2 J

Nach den 100 m hat er eine kinetische Energie von

E kin = 1 2 m v 2 = 1 2 0,2 kg ( 20 ms-1 ) 2 = 40 J

Der Energieverlust an die Luft beträgt 156,2 J .

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