Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

Abb.1

Die Arbeit, die an dem Körper verrichtet wird, berechnet sich zu:

$$W=\underset{0}{\overset{h}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\underset{0}{\overset{h}{\int }}m\cdot \overrightarrow{g}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=m\cdot \overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{h}$$

Da die Erdbeschleunigung und die Höhe nur Komponenten senkrecht zur Erdoberfläche besitzen, schreibt man vereinfachend:

$$W=m\cdot g\cdot h$$

Nach dem Hochheben hat der Körper, an dem die Arbeit $W=m\cdot g\cdot h$ verrichtet wurde, die Energie $E=m\cdot g\cdot h$.

Potentielle Energie (Lageenergie)

Die Energie, die ein Körper infolge seiner Lage hat, nennt man potentielle Energie oder Lageenergie. Für die potentielle Energie bei der Gravitation gilt:

$$E=m\cdot g\cdot h$$

Beispiel

Wie groß ist die Energie eines Apfels der Masse $\mathit{m}=150\text{g}$, der $5\text{m}$ über der Erde an einem Baum hängt?

Lösung:

Die potenzielle Energie des Apfels ist:

$$E=m\cdot g\cdot h=150\text{g}\cdot \mathrm{9,81}\text{m}{\text{s}}^{-2}\cdot 5\text{m}=\mathrm{7,4}\text{J}$$

Potenzielle Energie einer Feder (Spannenergie)

Abb.2

Um eine Feder um die Strecke $s$ aus der Ruhelage zu stauchen oder zu strecken, muss man eine Kraft aufwenden - diese Kraft ist proportional zur Strecke $s$. Der Proportionalitätsfaktor ist die Federhärte $D$.

Die Kraft, die zur Dehnung einer Feder um die Strecke $s$ aus der Ruhelage aufgewendet werden muss, ist:

$$F=-D\cdot s$$

Umgekehrt ist die Kraft, die zur Stauchung einer Feder um die Strecke $s^{*}=-s$ aus der Ruhelage aufgewendet werden muss:

$$F=-D\cdot s^{*}$$

Abb.3

Beim Dehnen oder Stauchen einer Feder wird Arbeit verrichtet, die der Feder zugeführt wird. Man berechnet sie folgendermaßen:

$$\begin{array}{l}{W}_{\text{Dehnen}}=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\underset{0}{\overset{s}{\int }}-D\cdot \overrightarrow{s}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s²\\ W_{\text{Stauchen}}=\underset{0}{\overset{s*}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\underset{0}{\overset{s*}{\int }}-D\cdot \overrightarrow{s}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s*²\end{array}$$

Spannenergie

Die Spannenergie oder die potenzielle Energie einer Feder berechnet sich zu:

$$E=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2$$

Beispiel

Abb.4

Wie groß ist der Zuwachs der potenziellen Energie, die eine Feder mit Federkonstante $D=350\text{N}{\text{m}}^{-1}$ hat, wenn sie

1. ohne Vorspannung ($x_1=0$)
2. mit Vorspannung ( $x_2=5\text{cm}$)

um $\text{Δ}x=10\text{cm}$ zusammengedrückt worden ist?

Lösung:

1. ohne Vorspannung: Der Zuwachs der potentiellen Energie der Feder ist:$$\text{Δ}E=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2=\frac{1}{2}\cdot 350\text{N}{\text{m}}^{-1}{\left(\mathrm{0,1}\text{m}\right)}^2=\mathrm{1,75}\text{N}\text{m}=\mathrm{1,75}\text{J}$$
2. mit Vorspannung Die Energie der Feder mit Vorspannung ist:$$E=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2=\frac{1}{2}\cdot 350\text{N}{\text{m}}^{-1}{\left(\mathrm{0,05}\text{m}\right)}^2=\mathrm{0,4375}\text{J}$$Der Energiezuwachs berechnet sich zu:$$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}E& =\frac{1}{2}\cdot D\cdot {\left(x_2+\text{Δ}x\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot D\cdot {\left(x_2\right)}^2\hfill \\ & =\frac{1}{2}\cdot 350\text{N}{\text{m}}^{-1}{\left(\mathrm{0,05}\text{m}+\mathrm{0,1}\text{m}\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot 350\text{N}{\text{m}}^{-1}{\left(\mathrm{0,05}\text{m}\right)}^2\hfill \\ & =\mathrm{3,9375}\text{J}-\mathrm{0,4375}\text{J}\hfill \\ & =\mathrm{3,5}\text{J}\hfill \end{array}$$