Kinetische Energie

Die Arbeit, die an einem Körper beim Beschleunigen verrichtet wird, berechnet man zu:

$$W=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\underset{0}{\overset{s}{\int }}m\cdot \overrightarrow{a}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}$$

Die Beschleunigung $\overrightarrow{a}$ kann man umschreiben als Geschwindigkeit pro Zeit, also:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$$

Damit ergibt sich für die aufgenommene Arbeit:

$$W=\underset{0}{\overset{s}{\int }}m\cdot \overrightarrow{a}\cdot \text{d}\overrightarrow{s}=\underset{0}{\overset{v}{\int }}m\cdot \overrightarrow{v}\cdot \frac{\text{d}\overrightarrow{s}}{dt}=\underset{0}{\overset{v}{\int }}m\cdot \overrightarrow{v}\cdot \text{d}\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v²$$

Nach dem Beschleunigungsvorgang hat der Körper, der die Arbeit $W=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v²$ aufgenommen hat, die Energie $E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v²$. Man spricht in diesem Fall von kinetischer Energie oder Bewegungsenergie.

Kinetische Energie

Im Allgemeinen gilt für einen Körper, der im Moment die konstante Geschwindigkeit $v$ hat, dass dieser die folgende kinetische Energie besitzt:

$$E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$$

Zahlenbeispiel

Wie groß ist die kinetische Energie eines fahrenden Autos der Masse $m=1000\text{kg}$ und der Geschwindigkeit $v=54\text{km}{\text{h}}^{-1}=15\text{km}{\text{s}}^{-1}$?

Lösung:

Die kinetische Energie des Autos beträgt:

$$E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 1000\text{kg}\cdot {\left(15\text{m}{\text{s}}^{-1}\right)}^2=112500\text{J}$$

Zum Vergleich:

Die Arbeit, um das Auto einen Meter anzuheben, beträgt:

$$W=m\cdot g\cdot h=1000\text{kg}\cdot 10\text{m}{\text{s}}^{-2}\cdot 1\text{m}=10000\text{J}$$

Beispiel

Wie groß ist der Energiezuwachs eines Autos der Masse $m=1000\text{kg}$, das von $v_0=14\text{m}{\text{s}}^{-1}$ auf $v_1=28\text{m}{\text{s}}^{-1}$ beschleunigt?

Lösung:

Die Energie vor der Beschleunigung ist:

$$E_{\text{vorher}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 1000\text{kg}\cdot {\left(14\text{m}{\text{s}}^{-1}\right)}^2=98000\text{J}$$

Die Energie nach der Beschleunigung ist:

$$E_{\text{nachher}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 1000\text{kg}\cdot {\left(28\text{m}{\text{s}}^{-1}\right)}^2=392000\text{J}$$

Die Energiedifferenz ist damit:

$$\text{Δ}E=E_{\text{nachher}}-E_{\text{vorher}}=392000\text{J}-98000\text{J}=294000\text{J}$$